Principio del argumento

RESUMEN. Demostramos el Principio del argumento y damos un ejemplo de aplicación.

Enunciado
1. Demostrar el Principio del argumento. Si $f(z)$ es una función meromorfa no idénticamente nula dentro y sobre un contorno cerrado simple $C$ y $f(z)$ no tiene ni ceros polos sobre $C$, entonces, $$\frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f^\prime (z)}{f(z)}dz=Z-P.$$ en donde $Z$ y $P$ representan respectivamente el número de ceros y el de polos de $f(z)$ en el interior del contorno $C$ en donde cada cero se cuenta tantas veces como su multiplicidad y cada polo tantas veces como su orden.
2. Calcular $\displaystyle\int_{|z|=2}\dfrac{8z^{7}}{z^{8}-1}\, dz.$

Solución
1. Sea $z_Z$ un cero de $f(z)$ de multiplicidad $k$. Entonces, $f(z)=(z-z_Z)^kg(z)$ con $g(z)$ analítica en un entorno de $z_Z$ y $g(z_Z)\ne 0$. Por tanto $$\frac{f^\prime (z)}{f(z)}=\frac{k(z-z_Z)^{k-1}g(z)+(z-z_Z)^kg^\prime (z)}{(z-z_Z)^kg(z)}=\frac{k}{z-z_Z}+\frac{g^\prime(z)}{g(z)}.$$ Como $g(z_Z)\ne 0$ se deduce que $g^\prime (z)/g(z)$ es analítica en un entorno de $z_Z$ lo cual implica que el residuo de $f^\prime (z)/f(z)$ en $z_Z$ es $k.$
   Sea $z_P$ un polo de $f(z)$ de orden $m$. Entonces, $f(z)=(z-z_P)^{-m}h(z)$ con $h(z)$ analítica en un entorno de $z_P$ y $h(z_P)\ne 0.$ Por tanto $$\frac{f^\prime (z)}{f(z)}=\frac{-m(z-z_P)^{-m-1}h(z)+(z-z_P)^{-m}h^\prime (z)}{(z-z_P)^{-m}h(z)}=\frac{-m}{z-z_P}+\frac{h^\prime(z)}{h(z)}.$$ De la misma manera que antes, al ser $h(z_P)\ne 0$ se deduce que $h^\prime (z)/h(z)$ es analítica en un entorno de $z_P$ lo cual implica que el residuo de $f^\prime (z)/f(z)$ en $z_P$ es $-m.$ Es claro que no existen más singularidades para $f^\prime (z)/f(z)$. En consecuencia y aplicando el teorema de los residuos de Cauchy, $$\frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f^\prime (z)}{f(z)}dz=Z-P.$$
2. Se cumplen las hipótesis de Principio del argumento, por tanto $$\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{|z|=2}\displaystyle\frac{f^\prime (z)}{f(z)}dz=N-P\Rightarrow \displaystyle\int_{|z=2|}\displaystyle\frac{8z^7}{z^8-1}dz=2\pi i (8-0)=16\pi i.$$