Extremos de $f(x,y)=x^3+y^3$ sobre una elipse

Enunciado
Determinar los extremos de la función $$f(x,y)=x^3+y^3$$ sobre la elipse $$E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x^2+y^2+ x+y=xy\}$$

Solución
Veremos tres métodos distintos.
Método 1. Multiplicadores de Lagrange
Podemos escribir $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$. En consecuencia en $E$ se verifica $f(x,y)=(x+y)(-x-y)=-(x+y)^2.$ Se trata pues de hallar los extremos de la función $f(x,y)=-(x+y)^2$ con la condición $x^2+y^2+ x+y=xy.$ Función de Lagrange: $$F(x,y)=-(x+y)^2+\lambda (x^2+y^2+ x+y-xy).$$ Puntos críticos $$\left \{ \begin{matrix} F_x=-2(x+y)+2\lambda x+\lambda-\lambda y=0\\F_y=-2(x+y)+2\lambda y+\lambda-\lambda x=0\\x^2+y^2+ x+y-xy.\end{matrix}\right.\qquad (S)$$ Restando a la primera ecuación la segunda obtenemos $3\lambda (x-y)=0.$ Es decir, $\lambda=0$ o $y=x$.

Primer caso: $\lambda=0$. Queda $$\left \{ \begin{matrix}-2(x+y)=0\\-2(x+y)=0\\x^2+y^2+ x+y-xy.\end{matrix}\right.$$ Sustituyendo $y=-x$ en la tercera ecuación queda $3x^2=0$ es decir, para $\lambda=0$ tenemos $(x,y)=(0,0).$ Parciales segundas $$F_{xx}=-2+\lambda, F_{xy}=F_{yx}=0, F_{yy}=-2+\lambda.$$ Para $\lambda=0$ y $(x,y)=(0,0)$ la matriz hessiana es $$H=\begin{bmatrix}{-2}&{\;\; 0}\\{\;\;0}&{-2}\end{bmatrix}$$ que es definida negativa, por tanto tenemos un máximo local $f_{\max}(0,0)=0.$

Segundo caso: $y=x$. Sustituyendo en el sistema $(S):$ $$\left \{ \begin{matrix}(\lambda -4)x+\lambda=0\\(\lambda -4)x+\lambda=0\\x(x+2)=0.\end{matrix}\right.$$ Para $x=0$ obtenemos $\lambda=0$ (caso ya estudiado). Para $x=-2,$ obtenemos $y=-2$ y $\lambda=8.$ Para $\lambda=8$ y $(x,y)=(-2,-2)$ la matriz hessiana es $$H=\begin{bmatrix}{6}&{0}\\{0}&{6}\end{bmatrix}$$ que es definida positiva, por tanto tenemos un mínimo local $f_{\min}(-2,-2)=-16. $ Estos extremos son además necesariamente globales.
Método 2. Teorema espectral.
Escribamos $E$ de la forma $E\equiv 2x^2+2y^2-2xy +2x+2y=0$ y diagonalicemos ortogonalmente la forma cuadrática $$q(x,y)=2x^2+2y^2-2xy=(x,y)\begin{pmatrix}{2}&{-1}\\{-1}&{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}.$$ El polinomio característico es $\lambda^2-4\lambda+3$ y sus valores propios $3$ y $1.$ Fácilmente hallamos bases de los respectivos subespacios propios: $$\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}\text{ o bien normalizando }\dfrac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}, \dfrac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}$$ siendo la relación entre los ejes antiguos y los nuevos $$\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix}{1}&{1}\\{-1}&{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x^\prime}\\{y^\prime}\end{pmatrix}.$$ La forma cuadrática $q$ queda ahora en la forma $3(x^\prime)^2+(y^\prime)^2$ y podemos expresar $E$ en la forma $$E\equiv 3(x^\prime)^2+(y^\prime)^2+\frac {2}{\sqrt 2}\left(x^\prime +y^\prime\right)+\frac {2}{\sqrt 2}\left(-x^\prime +y^\prime\right)$$ $$=3(x^\prime)^2+(y^\prime)^2+\frac{4}{\sqrt 2}y^\prime=3(x^\prime)^2+\left(y^\prime+\frac{2}{\sqrt 2}\right)^2-2=0$$ $$\Leftrightarrow \frac{(x^\prime)^2}{(\sqrt {2/3})^2}+\frac{\left(y^\prime+\frac{2}{\sqrt 2}\right)^2}{(\sqrt 2)^2}=1.$$ Las ecuaciones paramétricas en los eje $x^\prime y^\prime$ son por tanto $$E\equiv \left \{ \begin{matrix}x=\displaystyle\sqrt{\frac{2}{3}}\cos t\\y=-\dfrac{2}{\sqrt 2}+\sqrt 2\sin t\end{matrix}\right.\quad t\in [0,2\pi].$$ Usando las relaciones entre ejes nuevos y antiguos $$\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}=\dfrac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix}{1}&{1}\\{-1}&{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cos t}\\{-\dfrac{2}{\sqrt 2}+\sqrt 2\sin t}\end{pmatrix}$$ y las ecuaciones paramétricas de $E$ en los eje $xy$ son $$E\equiv \left \{ \begin{matrix}x=-1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt 3}\cos t+\sin t\\y=-1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt 3}\cos t+\sin t\end{matrix}\right.\quad t\in [0,2\pi].$$ Sumando queda $x+y=-2+2\sin t$ y usando según vimos que $f(x,y)=-(x+y)^2$ queda $$f(x,y)=x^3+y^3=-(x+y)^2=-(2+2\sin t)^2=-4(1-\sin t)^2$$ Por tanto el mínimo absoluto de $f$ es $-16$ para $t=3\pi/2$ y el máximo $0$ para $t=\pi/2$
Método 3. Artificios de cálculo.
Como vimos, $x^3+y^3=-(x+y)^2$ en los puntos de $E.$ La ecuación de $E\equiv x^2+y^2+ x+y=xy$ se puede escribir en la forma $$(x+y)^2+(x+y)=3xy\qquad (1)$$ y en general se verifica $$(x+y)^2-(x-y)^2=4xy\qquad (2)$$ Multiplicando la ecuación $(1)$ por $4$ y restándole la $(2)$ por $3$ obtenemos $$(x+y)^2+4(x+y)=-3(x-y)^2$$ en consecuencia, $(x+y)^2+4(x+y)\le 0,$ o bien $(x+y)(x+y+4)\leq{0}.$

Caso 1: $x+y\ge 0 \wedge x+y\leq{-4}.$ Contradicción.
Caso 2: $x+y\leq{0} \wedge {x+y}\ge -4.$ Entonces, $-4\leq{x+y}\leq{0}$ lo cual implica $$-16\leq{-(x+y)^2}\leq{0}$$ Los valores $-16$ y $0$ se obtienen para los puntos de la elipse $(-2,-2)$ y $(0.0)$ respectivamente por tanto $0$ es el máximo absoluto de $f$ y $-16$ su mínimo absoluto.