Aparente desviación del teorema del punto fijo

RESUMEN. Damos un ejemplo de una aparente desviación del teorema del punto fijo

Enunciado

Se considera la función: $$f:\mathbb R\to \mathbb R,\quad f(x)=x+ \displaystyle\frac{1}{1+e^x}.$$

Demostrar que para todo $x,y\in \mathbb R$ con $x\ne y$ se verifica$$|f(x)-f(y)|< |x-y|.$$
Demostrar que $f$ no tiene puntos fijos
Explicar esta aparente desviación del conocido teorema del punto fijo para espacios métricos completos.

Solución

Sea $y < x$ y apliquemos el teorema de Lagrange en $[y, x]$ a función $$f(t)=t+ \displaystyle\frac{1}{1+e^t}.$$ Existe un $\xi\in (y,x)$ tal que $$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f^\prime (\xi)=1-\frac{e^\xi}{(1+e^\xi)^2}.\qquad (*)$$ Veamos que $0 < f^\prime (\xi) <1$. Efectivamente, $$0 < f^\prime (\xi)\Leftrightarrow 0 < 1-\frac{e^\xi}{(1+e^\xi)^2} \Leftrightarrow \frac{e^\xi}{(1+e^\xi)^2} < 1 \Leftrightarrow e^\xi < (1+e^\xi)^2$$ y claramente la última desigualdad es cierta. Por otra parte $$ f^\prime (\xi) < 1\Leftrightarrow 1-\frac{e^\xi}{(1+e^\xi)^2} < 1 \Leftrightarrow -\frac{e^\xi}{(1+e^\xi)^2} < 0 \text{ (trivial).}$$ Tomando valor absoluto en $ (*) $: $$\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right| < 1 \text{ o bien }|f(x)-f(y)| < |x-y|.$$ Análogo razonamiento para $x < y.$
En efecto, si existe punto fijo $p\in \mathbb R$: $$f(p)=p\Leftrightarrow p+ \displaystyle\frac{1}{1+e^p}=p\Leftrightarrow \frac{1}{1+e^p}=0,$$ lo cual es absurdo.
El teorema del punto fijo asegura que si $(X,d)$ es un espacio métrico completo y $f:X\to X$ una aplicación contractiva i.e. si existe $k\in [0,1)$ tal que $d(f(x),f(y))\le kd(x,y)$ para todo $x,y\in X$ existe un único punto fijo. En nuestro caso, la aplicación es Lipschitziana no contractiva.