Integral de una función escalonada

Enunciado
Dado un entero positivo $p$, una función escalonada $s$ está definida en el intervalo $[0,p]$ como sigue: $s(x)=(-1)^nn$ si $n\leq x < n+1$, siendo $n=0,1,2,\ldots,p-1$ y $s(p)=0$. Sea $f(p):=\displaystyle\int_0^p s(x)dx$. ¿Para qué valores de $p$ es $|f(p)|=7$?

Solución
Por definición de integral de una función escalonada, $$f(p)=\int_0^ps(x)=(-1)^0\cdot 0\cdot 1+(-1)^1\cdot 1\cdot 1+(-1)^2\cdot 2\cdot 1+(-1)^3\cdot 3\cdot 1$$ $$+(-1)^4\cdot 4\cdot 1+\ldots+(-1)^{p-1}\cdot (p-1)\cdot 1$$ $$=-1+2-3+4-\ldots+(-1)^{p-1}(p-1).$$ Para $p$ impar podemos descomponer $$f(p)=-(1+3+5+\ldots+p-2)+(2+4+6+\ldots+p-1).$$ Los números $1,3,5,\ldots,p-2$ forman progresión artitmética de diferencia $2$ y si $m$ es su número de términos, $p-2=1+(m-1)2$ con lo cual, $m=(p-1)/2.$ Aplicando la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética, $$1+3+5+\ldots+p-2=\frac{1+p-2}{2}\frac{p-1}{2}=\frac{(p-1)^2}{4}.$$ Los números $2,4,6,\ldots,p-1$ forman progresión arimética de diferencia $2$ y si $m$ es su número de términos, $p-1=2+(m-1)2$ con lo cual, $m=(p-1)/2.$ Aplicando la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética, $$2+4+6+\ldots+p-1=\frac{2+p-1}{2}\frac{p-1}{2}=\frac{(p+1)(p-1)}{2}=\frac{p^2-1}{4}.$$ En consecuencia, $$f(p)=-\frac{(p-1)^2}{4}+\frac{p^2-1}{4}=\frac{2p-2}{4}=\frac{p-1}{2}=|f(p)|.$$ Entonces, para que se verifique $|f(p)|=7$ ha de ser $p=15.$

Procediendo de manera análoga para $p$ par obtenemos $|f(p)|=p/2$ y por tanto ha de ser $p=14$ para que $|f(p)|=7.$ En decir las soluciones al problema son $p=14$ o $p=15.$