Representación gráfica de $f(x)=x^3-3x^2$

Enunciado
Representar gráficamente la función $f(x)=x^3-3x^2$

Solución
1. Dominio. Claramente es $D(f)=\mathbb R$.
2. Simetrías. $f(-x)=(-x)^3+(-x)^2=-x^3+x^2.$ Entonces, $f(-x)\ne f(x)$ y $f(-x)\ne -f(x).$ No hay simetrías.
3. Asíntotas. Sabemos que las funciones polinómicas de grado $\ge 2$ no tienen asíntotas.
4. Máximos y mínimos. Derivando: $$f^\prime (x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0,\quad x=0\vee x=2.$$ Tenemos, $$\begin{matrix}
\text{Rango de }x: & (-\infty,0) & 0 & (0,2) & 2&(2,+\infty) \\
f^\prime (x): & -\cdot -=+ & 0 & +\cdot -=- & 0& +\cdot +=+\\
\text{Crec. o decrec.} &\text{cre.} & & \text{dec.} & & \text{crec.}
\end{matrix}$$ Por tanto, $(0,f(0)=(0, 0)$ es punto de máximo relativo y $(2,f(2))=(2,-4)$ de mínimo relativo.
5. Puntos de inflexión. Derivada segunda $$f^{\prime\prime}=6x-6=6(x-1)=0,\quad x=1$$ Tenemos
$$\begin{matrix}
\text{Rango de }x & (-\infty,1) &1 & (1,+\infty)\\
f^{\prime\prime} (x) & -& 0 &+\\
\text{Concavidad} & \text{conc. abajo} & &\text{conc. arriba}
\end{matrix}$$ Por tanto tenemos un punto de inflexión en $(0,f(0))=(0,0).$
6. Puntos de corte con los ejes. Si $x=0$, $y=0$. Para $y=0$ queda $0=x^3-x^2=x^2(x-3)=0$ con lo cual $x=0$ o $x=3.$ Los puntos de corte con los ejes son por tanto $(0,0)$ y $(3,0).$
Representación gráfica: