Gráfica de $f(x)=\dfrac{1}{9}(6x^2-x^4)$

Enunciado
Representar gráficamente la función $f(x)=\dfrac{1}{9}(6x^2-x^4).$

Solución
1. Dominio. Claramente $D(f)=\mathbb R.$
2. Simetrías. Se verifica $$f(-x)=\dfrac{1}{9}(6(-x)^2-(-x)^4)=\dfrac{1}{9}(6x^2-x^4)=f(x)$$ La función es par por tanto su gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas. En consecuencia bastará dibujar la parte correspondiente a $x\ge 0$ y el resto por simetría.
3. Asíntotas. Sabemos que las funciones polinómicas de grado $\ge 2$ no tienen asíntotas.
4. Crecimiento y decrecimiento. Derivando, $$f^\prime (x)=\dfrac{1}{9}(12x-4x^3)=\dfrac{4}{9}x(3-x^2)=0\,\quad x=0,x=\pm \sqrt 3.$$ Entonces $$\begin{matrix}
\text{Rango de }x & 0 & (0,\sqrt 3) & \sqrt 3&(\sqrt 3,+\infty)\\
f^\prime (x) & 0 &+\cdot +=+&0&+\cdot -=-\\
\text{Crec. o dec.} &&\text{crec.}& &\text{dec.}
\end{matrix}$$ 5. Concavidad. Derivada segunda: $$f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{12}{9}-\dfrac{12}{9}x^2=\dfrac{12}{9}(1-x^2)=0,\quad x=0,x=\pm 1.$$ $$\begin{matrix}
\text{Rango de }x & 0 & (0,1)& 1 &(1,+\infty)\\
f^{\prime\prime} (x) & 0&+\cdot +=+& 0& +\cdot -=- \\
\text{Concavidad} & & \text{conc. arriba}& & \text{conc. abajo}
\end{matrix}$$ 6. Puntos de corte con los ejes. Para $x=0$ obtenemos $y=0$ y para $y=0$, $\dfrac{1}{9}(6x^2-x^4)=0$ y resolviendo, $x=0,x=\pm \sqrt 6.$ Los puntos de corte son por tanto $(0,0)$ y $(\pm \sqrt 6,0).$ La gráfica de $f$ es por tanto: