Gráfica de $f(x)=\dfrac{x^3}{(x-1)^2}$

Enunciado
Representar gráficamente la función $f(x)=\dfrac{x^3}{(x-1)^2}.$

Solución
1. Dominio. Claramente es $D(f)=\mathbb R-\{1\}$.
2. Simetrías. $f(-x)=\dfrac{-x^3}{(-x-1)^2}=-\dfrac{x^3}{(x+1)^2}.$ Entonces, $f(-x)\ne f(x)$ y $f(-x)\ne -f(x).$ No hay simetrías.
3. Asíntotas.
(a) Horizontales. $\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)=\infty.$ No existen.
(b) Verticales. Claramente la única asíntota vertical es $x=1.$
(c) Oblicuas. $$m=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{f(x)}{x}=1$$ $$b=\displaystyle\lim_{x\to \infty}(f(x)-mx)=\lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{x^3}{(x-1)^2}-x\right)=\lim_{x\to \infty}\frac{2x^2-x}{(x-1)^2}=2.$$ Es decir, $y=x+2$ es asíntota oblícua.
4. Máximos y mínimos. Derivando: $$f^\prime (x)=\frac{3x^2(x-1)^2-2(x-1)x^3}{(x-1)^4}=\frac{3x^2(x-1)-2x^3}{(x-1)^3}$$ $$=\frac{x^3-3x^2}{(x-1)^3}=\frac{x^2(x-3)}{(x-1)^3}=0,\quad x=0\vee x=3.$$ Tenemos $$\begin{matrix}
\text{Rango de }x & (-\infty,0) & 0 & (0,1) & (1,3)&3& (3,+\infty) \\
f^\prime (x) & \dfrac{+\cdot -}{-}=+ & 0 & \dfrac{+\cdot -}{-}=+ & \dfrac{+\cdot -}{+}=-& 0 & \dfrac{+\cdot +}{+}=+\\
\text{Crec. o dec.} &\text{crec.} & & \text{crec.} & \text{dec.} & &\text{crec.}
\end{matrix}$$ Por tanto, $(3,f(3)=(3, 27/4)$ es punto de mínimo relativo.
5. Puntos de inflexión. Derivada segunda $$f^\prime (x)=\frac{x^3-3x^2}{(x-1)^3}\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=\frac{(3x^2-6x)(x-1)^3-3(x-1)^2(x^3-3x^2)}{(x-1)^6}$$ $$=\frac{(3x^2-6x)(x-1)-3(x^3-3x^2)}{(x-1)^4}=\frac{6x}{(x-1)^4}=0,\quad x=0.$$ Tenemos $$\begin{matrix}
\text{Rango de }x & (-\infty,0) & 0& (0,1)& (1,+\infty)\\
f^{\prime\prime} (x) & \dfrac{-}{+}=- &0& \dfrac{+}{+}=+& \dfrac{+}{+}=+\\
\text{Concavidad} & \text{conc. abajo}&& \text{conc. arriba}&\text{conc. arriba}
\end{matrix}$$ Por tanto, $(0,f(0))=(0,0).$ es punto de inflexión.
6. Punto de corte con los ejes. Para $x=0$ obtenemos $y=0$. Para $y=0$ obtenemos $x=0.$ El único punto de corte con los ejes es $(0,0).$
Representación gráfica.