Gráfica de $f(x)=\sqrt{8+x}-\sqrt{8-x}$

Enunciado
Representar gráficamente la función $f(x)=\sqrt{8+x}-\sqrt{8-x}.$

Solución
1. Dominio. Existe $f(x)$ si y sólo si $8+x\ge 0$ y $8-x\ge 0$ es decir, si $x\ge -8$ y $8\le x$, luego el dominio es $D(f)=[-8,8].$
2. Simetrías. Para todo $x\in[-8,8]$ se verifica $$f(-x)=\sqrt{8-x}-\sqrt{8+x}=-f(x)$$ La función es impar por tanto simétrica respecto del origen. Bastará pues estudiar la función en $[0,8]$ y luego transportarla por simetría.
3. Asíntotas. Por las características del dominio no existen asíntotas.
4. Crecimiento y decrecimiento. Derivando, $$f^\prime (x)=\dfrac{1}{2\sqrt{8+x}}-\dfrac{1}{2\sqrt{8-x}}(-1)=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{\sqrt{8+x}}+\dfrac{1}{\sqrt{8-x}}\right]$$ $$=\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt{8-x}+\sqrt{8+x}}{\sqrt{8+x}\sqrt{8-x}}.$$ Entonces, $$f^\prime (x)=0\Rightarrow \sqrt{8-x}+\sqrt{8+x}=0\Rightarrow \sqrt{8-x}=-\sqrt{8+x}$$ $$\Rightarrow \left(\sqrt{8-x}\right)^2=\left(-\sqrt{8+x}\right)^2\Rightarrow 8-x=8+x\Rightarrow2x=0\Rightarrow x=0.$$ Pero $x=0$ no satisface la ecuación original $\sqrt{8-x}+\sqrt{8+x}=0.$ $$\begin{matrix}
\text{Rango de }x & [0,8) & 8\\
f^\prime (x) & \dfrac{+}{+}=+& +\infty\\
\text{Crec. o dec.} &\text{crec.}&\text{tang. vertic.}
\end{matrix}$$ 6. Concavidad. Derivada segunda, $$f^\prime (x)=\dfrac{1}{2\sqrt{8+x}}+\dfrac{1}{2\sqrt{8-x}}=\dfrac{1}{2}(8+x)^{-1/2}+\dfrac{1}{2}(8-x)^{-1/2}$$ $$\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=-\frac{1}{4}(8+x)^{-3/2}+\frac{1}{4}(8-x)^{-3/2}$$ $$=\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{(8-x)\sqrt{8-x}}-\dfrac{1}{(8+x)\sqrt{8+x}}\right]$$ $$=\dfrac{1}{4}\dfrac{(8+x)\sqrt{8+x}-(8-x)\sqrt{8-x}}{(8-x)(8+x)\sqrt{8-x}\sqrt{8+x}} > 0\text{ si }x\in (0,8]$$ y por otra parte $f^{\prime\prime}(0)=0.$ $$\begin{matrix}
\text{Rango de }x & 0 &(0,8]\\
f^{\prime\prime} (x) & 0 & +\\
\text{Concavidad} & &\text{conc. arriba}
\end{matrix}$$ Por la simetría respecto del origen tenemos un punto de inflexión en $(0,f(0))=(0,0).$
6. Corte con los ejes. Para $x=0,$ $y=0.$ La función es estrictamente creciente en $(0,8]$ por tanto no hay mas puntos de corte con los ejes.
Representación gráfica: