Gráfica de $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{4-x}$

Enunciado
Representar gráficamente la función $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{4-x}.$

Solución
1. Dominio. Existe $f(x)$ si y sólo si $x\ge 0$ y $4-x\ge 0$ es decir $D(f)=[0,4].$
2. Simetrías. La función no está definida en un intervalo simétrico respecto del origen luego la función no es par ni impar.
3. Asíntotas. No existen ni horizontales ni oblicuas por las características del dominio. Tampoco existe verticales pues no existe $a\in\mathbb R$ tal que $\lim_{x\to a}f(x)=\infty.$
4. Máximos y mínimos. Derivada primera $$f^\prime (x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}-\dfrac{1}{2\sqrt{4-x}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt{4-x}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{4-x}}.$$ Entonces, $f^\prime (x)=0\Leftrightarrow \sqrt{4-x}-\sqrt{x}=0\Leftrightarrow\sqrt{4-x}=\sqrt{x}\Leftrightarrow x=2.$ Obsérvese que en los puntos $x=0$ y $x=4$ la derivada es infinita por tanto son puntos de tangente vertical $$\begin{matrix}
\text{Rango de }x & 0 & (0,2) & 2 & (2,4) & 4\\
f^\prime (x) &+ \infty & + &0 &-&-\infty &\\
\text{Comportamiento}& \text{tang. vertic.}& \text{crec.}& \text{max. rel.}&\text{dec.} &\text{tang. vertic.}
\end{matrix}$$ Existe máximo relativo en $(2,f(2))=(2,2\sqrt{2}).$
5. Concavidad. Derivada segunda $$f^\prime (x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}-\dfrac{1}{\sqrt{4-x}}=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}-\dfrac{1}{2}(4-x)^{-1/2}$$ $$\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{1}{4}x^{-3/2}+\dfrac{1}{4}(4-x)^{-3/2}(-1)=-\dfrac{1}{4x\sqrt x}-\dfrac{1}{4(4-x)\sqrt{4- x}}$$ $$\Rightarrow f^{\prime\prime}(x) > 0 \;\forall x\in (0,4)\Rightarrow f \text{ es concava hacia abajo }\forall x\in (0,4).$$ 6. Puntos de corte con los ejes. Para $x=0$, $y=2.$ Para $y=0$ tenemos $\sqrt x+\sqrt{4-x}=0$ o bien $\sqrt x=-\sqrt{4-x}.$ Elevando al cuadrado queda $x=4-x$ o bien $x=2.$ Pero $x=2$ no satisface al ecuación original. El único punto de corte con los ejes es $(0,2).$ Representación gráfica: