Gráfica de $f(x)=xe^{-x}$

Enunciado
Representar gráficamente la función $f(x)=xe^{-x}.$

Solución
1. Dominio. Claramente $D(f)=\mathbb R.$
2. Simetrías. $f(-x)=-xe^x$ es decir $f(-x)\ne f(x)$ y $f(-x)\ne -f(x).$ No hay simetrías.
3. Asíntotas.
(a) Horizontales. $$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{e^x}=\left\{\frac{+\infty}{+\infty}\right\}\underbrace{=}_{\text{L´Hopital}}\lim_{x\to \infty}\frac{1}{e^x}=\frac{1}{+\infty}=0.$$ $$\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{e^x}=\dfrac{-\infty}{0}=0.$$ Entonces $y=0$ es asíntota horizontal cuando $x\to +\infty.$
(b) Verticales. Para todo $x\in\mathbb R$, $f(x)$ es finito por tanto no existen.
(c) Oblicuas. Para $x\to +\infty$ existe asíntota horizontal luego no existe oblicua por ser $f$ función univaluada. Analicemos para $x\to -\infty.$ $$m=\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{e^x}=\frac{1}{0}=\infty.$$ No hay asíntotas oblicuas.
4. Máximos y mínimos. Derivando, $$f^\prime (x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)=0,\quad x=0.$$ $$\begin{matrix}
\text{Rango de }x & (-\infty,1)& 1 & (1,+\infty)\\
f^\prime (x) & +\cdot +=+& 0 & +\cdot -=-\\
\text{Crec. o dec.} & \text{crec.} & & \text{dec.}
\end{matrix}$$ Existe pues un máximo relativo en $(1,f(1))=(1,1/e).$
5. Puntos de inflexión. Derivada segunda, $$f^{\prime\prime}(x)=-e^{-x}(1-x)+e^{-x}(-1)=e^{-x}(x-2)=0,\quad x=2.$$ $$\begin{matrix}
\text{Rango de }x & (-\infty,2) & 2 & (2,+\infty)\\
f^{\prime\prime} (x) & +\cdot -=- & 0 & +\cdot +=+\\
\text{Concavidad} &\text{conc. abajo} & &\text{conc. arriba}
\end{matrix}$$ Por tanto, $(2,f(2))=(2,2/e^2)$ es punto de inflexión.
6. Corte con los ejes. Para $x=0$, $y=0$ y para $y=0,$ $x=0.$ El único punto de corte con los ejes es $(0,0).$
Representación gráfica: