Gráfica de la astroide $x=a\cos^3t,\;y=a\sin^3t,\; (a > 0) $

RESUMEN. Dibujamos la astroide.

Enunciado
Representar gráficamente la astroide de ecuaciones paramétricas:
$$\left \{ \begin{matrix} x=a\cos^3t\\y=a\sin^3t\end{matrix}\right.\quad (a>0).$$

Solución
1. Dominio. Las funciones $x$ e $y$ están definidas para todo $t\in \mathbb R.$
2. Periodicidad. Las funciones $x$ e $y$ son periódicas de periodo $T=2\pi.$ Bastará pues estudiar la curva para $t\in [-\pi,\pi].$
3. Simetrías. $$\left \{ \begin{matrix} x(-t)=a\cos^3(-t)=a\cos^3t=x(t)\\y(-t)=a\sin^3(-t)=-a\sin^3t =-y(t)\end{matrix}\right.$$ La curva es simétrica respecto del eje de abscisas. Por otra parte, $$\left \{ \begin{matrix} x(\pi-t)=a\cos^3(\pi-t)=-a\cos^3t=-x(t)\\y(\pi-t)=a\sin^3(\pi-t)=a\sin^3 t=y(t)\end{matrix}\right.$$ La curva también es simétrica respecto del eje de ordenadas. Basta pues dibujar la curva en el primer cuadrante y el resto por simetría respecto de los ejes de abscisas y ordenadas. Los puntos de la curva situados en el primer cuadrante son los que corresponden a $t\in [0,\pi /2]$ en consecuencia sólo consideraremos $$\operatorname{Dom} t=[0,\pi /2].$$ 4. Asíntotas. No existen, pues para todo $t\in [0\pi/2]$ se verifica $|x(t)|\le a$ y $|y(t)|\le a$.
5. Crecimiento, decrecimiento. Derivando, $$x^\prime (t)=-3a\cos^2t\sin t,\;y^\prime (t)=3a\sin^2t\cos t,\quad \forall t\in [0,\pi/2]$$ $$y^\prime_x=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{3a\sin^2t\cos t}{-3a\cos^2t\sin t}=-\tan t,\quad \forall t\in [0,\pi/2).$$ Tenemos las variaciones $$\begin{matrix}
& x(t) & y(t) &x^\prime (t) & y^\prime (t) & y^\prime_x\\
t\in (0.\pi/2) & + &+ &- &+ &-\\
t=0 & a & 0 & 0 & 0 & 0\\
t=\pi/2 & 0& a & 0 & 0 & -\infty
\end{matrix}$$ Es decir, si $t$ recorre desde $0$ hasta $\pi/2$ entonces $(x,y)$ recorre desde $(a,0)$ hasta $(0,a)$ siendo $(a,0)$ punto con tangente horizontal y $(a,0)$ con tangente vertical.
6. Concavidad. Hallemos $y^{\prime\prime}_x$ $$y^\prime_x=-\tan t, y^\prime=-3a\cos^2t\sin t\Rightarrow y^{\prime\prime}_x=\dfrac{dy^\prime_x/dt}{dx/dt}$$ $$=\dfrac{\sec t}{3a\cos^2t\sin t} > 0\;\forall t\in (0,\pi/2).$$ Tenemos pues concavidad hacia arriba. Gráfica de la astroide: