Gráfica de $f(x)=x(x^2-1)^{-1/3}$

Enunciado
Representar gráficamente la función $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt[3]{x^2-1}}$.

Solución
1. Dominio. Es $D(f)=\mathbb R-\{\pm 1\}.$
2. Simetrías. $f(-x)=\dfrac{-x}{\sqrt[3]{(-x)^2-1}}=-\dfrac{x}{\sqrt[3]{x^2-1}}= -f(x).$ La función es impar por tanto existe simetría respecto del origen. Bastará pues estudiar la función para $x\ge 0.$
3. Asíntotas.
(a) Horizontales. $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x}{\sqrt[3]{x^2-1}}=\lim_{x\to +\infty}\sqrt[3]{\frac{x^3}{x^2-1}}=+\infty.$ No hay.
(b) Verticales. $\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{x}{\sqrt[3]{x^2-1}}=\frac{1}{0}=\infty$ luego $x=1$ es asíntota vertical.
(c) Oblicuas. $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2-1}}=0$. No hay.
4. Máximos y mínimos. Derivando, $$f^\prime (x)=\frac{\sqrt[3]{x^2-1}-\dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x^2-1)^2}}2x\cdot x}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2}}=\dfrac{3\sqrt[3]{(x^2-1)^3}-2x^2}{3\sqrt[3]{(x^2-1)^4}}$$ $$=\dfrac{3(x^2-1)-2x^2}{3\sqrt[3]{(x^2-1)^4}}=\dfrac{x^2-3}{3\sqrt[3]{(x^2-1)^4}}=0,\quad x=\pm 3.$$ $$\begin{matrix}
\text{Rango de }x & [0,1)& (1,\sqrt 3)& \sqrt 3& (\sqrt 3,+\infty)\\
f^\prime (x) & \dfrac{-}{+}=-& \dfrac{-}{+}=-& 0& \dfrac{+}{+}=+\\
\text{Crec. o dec.} &\text{dec.}&\text{dec.}& & \text{crec.}
\end{matrix}$$ Existe mínimo relativo en $(\sqrt 3,f(\sqrt 3)=(\sqrt 3,\sqrt 3/\sqrt[3]2)\approx{(1,73, 1,37)} $
5. Puntos de inflexión. Derivada segunda, $$f^\prime (x)=\dfrac{1}{3}\dfrac{x^2-3}{\sqrt[3]{(x^2-1)^4}}$$ $$\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{1}{3}\dfrac{2x\sqrt[3]{(x^2-1)^4}-\dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x^2-1)^8}}4(x^2-1)^32x(x^2-3)}{\sqrt[3]{(x^2-1)^8}}$$ $$=\dfrac{1}{3}\dfrac{6x\sqrt[3]{(x^2-1)^{12}}-8x(x^2-1)^3(x^2-3)}{3\sqrt[3]{(x^2-1)^{16}}}$$ $$=\dfrac{1}{3}\dfrac{6x(x^2-1)^4-8x(x^2-1)^3(x^2-3)}{3(x^2-1)^3\sqrt[3]{(x^2-1)^{7}}}$$ $$=\dfrac{1}{9}\dfrac{6x(x^2-1)-8x(x^2-3)}{\sqrt[3]{(x^2-1)^{7}}}=\dfrac{1}{9}\dfrac{-2x^3+18x}{\sqrt[3]{(x^2-1)^{7}}}=\dfrac{2x(9-x^2)}{9\sqrt[3]{(x^2-1)^{7}}}.$$ Entonces, $f^{\prime\prime}(x)=0$ para $x=0$ y $x=\pm 3$ (posibles puntos de inflexión). $$\begin{matrix}
\text{Rango de }x & 0 & (0,1) & (1,3) & 3 & (3,+\infty) \\
f^{\prime\prime} (x) & 0 & \dfrac{+}{-}=- & \dfrac{+}{+}=+ & 0 & \dfrac{-}{+}=-\\
\text{Concavidad} && \text{conc. abajo} &\text{conc. arriba}&&\text{conc. abajo}
\end{matrix}$$ Por tanto hay punto de inflexión en $(3,f(3))=(3,3/2).$ Por simetría obtenemos otro en $(-3,-3/2)$ y otro en $(0,0)$. El único punto de corte con los ejes es $(0,0).$ Representación gráfica: