Ecuación funcional de Cauchy

RESUMEN. Estudiamos la ecuación funcional de Cauchy.

Enunciados
Se dice que una función $f:\mathbb R\to \mathbb R$ cumple la ecuación de Cauchy si satisface la ecuación funcional $$f(x+y)=f(x)+f(y),\;\forall x,y\in\mathbb R.$$
1. Demostrar que si $c\in\mathbb R$ la función $f:\mathbb R\to \mathbb R$ dada por $f(x)=cx$ satisface la ecuación de Cauchy.
Nota. Tenemos pues asegurada la existencia de soluciones (llamémoslas soluciónes triviales). Estudiaremos si existen otras soluciones.

Sea $f$ una solución de la ecuación de Cauchy

2. Demostrar que $f(0)=0.$
3. Demostrar que $f$ es función impar.
4. Demostrar por inducción que para todo $n\in \mathbb N$ y para todo $x\in \mathbb {R}^+$ se verifica $f(nx)nf(x).$
5. Demostrar que si $n\in\mathbb{Z} $ y $x\in\mathbb{R}^+$ entonces $f(nx)=nf(x).$
6. Demostrar que la restricción de $f$ a los racionales es $f:\mathbb Q\to \mathbb R,\; f(x)=cx \text{ con } c=f(1).$
7. Demostrar que si $f:\mathbb R\to \mathbb R$ es monótona, es decir creciente o decreciente entonces $f$ es necesariamente de la forma de la forma $f(x)=cx.$
8. Demostrar que si $f$ es continua entonces $f$ es solución trivial.

Soluciones
1. En efecto $f(x+y)=c(x+y)=cx+xy=f(x)+f(y)$ para todo $x,y\in\mathbb R.$
2. Para $y=0$ queda $f(x)=f(x)+f(0)$ luego $f(0)=0.$
3. Para $y=-x$ queda $f(0)=f(x)+f(-x)$ es decir $0=f(x)+f(-x)$ o bien $f(-x)=-f(x).$
4. Paso base. Tenemos $f(0x)=f(0)=0=0f(x).$ La fórmula es cierta para $n=0.$
   Paso de inducción. Sea cierta para $n.$ Entonces, $$f\left((n+1)x\right)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)\underbrace{=}_{\text{Hip. induc.}}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x).$$ La fórmula es cierta para $n+1.$
5. En el problema anterior demostramos que $f(nx)=nf(x)$ si $\mathbb{Z}_{\ge 0}.$ Si $n\in\mathbb{Z}_{<0}$ entonces, $$f(nx)\underbrace{=}_{f\text { impar}}-f(-nx)\underbrace{=}_{-n \in \mathbb{Z}_{\ge 0}}-(-nf(x))=nf(x).$$
6. En efecto, sea $x=\dfrac{m}{n}\in \mathbb Q$ $(m,n\in \mathbb Z, n\ne 0)$. Entonces, $nx=m\cdot 1$ con lo cual, $$f(nx)=f(m\cdot 1)\Rightarrow nf(x)=mf(1)$$ $$\Rightarrow f(x)=\dfrac{m}{n}f(1)\Rightarrow f(x)=xf(1)\Rightarrow f(x)=cx.$$
7. Caso $c=0.$ Si $x\in \mathbb R$ entonces $\lfloor x\rfloor \le x \le\lceil x\rceil $ y $0=f\left (\lfloor x\rfloor\right)=f\left (\lceil x\rceil\right).$ Por tanto, $$f\text{ crec.}\Rightarrow 0=f\left (\lfloor x\rfloor\right)\le f(x)\le f\left (\lceil x\rceil\right)=0\Rightarrow f(x)=0=cx,$$ $$f\text{ dec.}\Rightarrow 0=f\left (\lfloor x\rfloor\right)\ge f(x)\ge f\left (\lceil x\rceil\right)=0\Rightarrow f(x)=0=cx.$$ Caso $c\ne 0.$ Asumimos sin falta de generalidad que $c > 0$, el caso $c < 0$ se estudia de forma análoga. Supongamos que existe $z\in\mathbb R$ tal que $f(z)\ne cz.$ Entonces $z\ne f(z)/c.$ Como entre dos números reales distintos existe un racional entre ellos, existe $q\in \mathbb Q$ tal que o bien $z < q < f(z)/c$ o bien $f(z)/c < q < z.$ Entonces $$z < q \wedge f(q)=cq < f(z)\text{ o bien } q < z\wedge f(z) < cq =f(q).$$ En cualquier caso como $f$ es monótona, $f$ ha de ser decreciente. Sin embargo, $0 < 1$ y $f(0)=0 < c =f(1)$ lo cual es una contradicción.
8. Sabemos que existe $c\in\mathbb R$ tal que $f(x)=cx$ para todo $x\in\mathbb Q.$ Tenemos que demostrar que si existe $z\in\mathbb R$ tal que $f(z)\ne cz$ entonces $f$ es discontinua.
   Supongamos sin pérdida de generalidad que $c\ge 0$, el caso $c\le 0$ se razona de manera análoga. Llamemos $\epsilon=|f(c)-cz|$ ($\epsilon >0$ pues $f(z)\ne cz).$ Es suficiente demostrar que para todo $\delta > 0$ existe un $y$ con $z-\delta < y < z +\delta$ tal que o bien $f(y)\le f(z)-\epsilon$ o bien $f(y)\ge f(z)+\epsilon.$
   Supongamos primeramente que $f(z) > cz$ y elijamos un racional $q$ tal que $z-\delta < q < z.$ Para este $q$, $$f(q)=(\underbrace{f(z)-cz)}_{=\epsilon}+f(q)-\epsilon=f(z)\;\;\underbrace{-cz+cq}_{\le 0}-\epsilon \le f(z)-\epsilon. $$ Consideremos ahora $f(z) < cz$ y sea $q\in \mathbb Q$ tal que $z < q < z+\delta.$ Entonces, $$f(q)=-(\underbrace{cz -f(z)}_{=\epsilon})+f(q)+\epsilon=f(z)\;\underbrace{-cz+cq}_{\ge 0} +\epsilon)\ge f(z)+\epsilon.$$