Ecuación funcional $f(x+y)=f(x)f(y)$

Publicada el febrero 22, 2025 por Fernando Revilla
    Enunciados

    Se considera la ecuación funcional $$f:\mathbb R\to \mathbb R,\; f(x+y)=f(x)f(y)\qquad (E)$$

  1. Demostrar que la función idénticamente nula es solución de $(E)$.
    2. Consideremos en lo sucesivo que $f$ es solución no idénticamente nula de la ecuación funcional $(E).$
  2. Demostrar que $f(0)=1.$
  3. Demostrar que $f(x)\ne 0$ para todo $x\in\mathbb R$.
  4. Demostrar que $f(x) > 0$ para todo $x\in\mathbb R.$
  5. Demostrar que para todo $n\in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ y para todo $x\in\mathbb R$ se verifica $f(nx)=f(x)^n.$
  6. Demostrar que para todo $x\in\mathbb R$ se verifica $f(-x)=f(x)^{-1}.$
  7. Demostrar que para todo racional $\frac{m}{n}$ se verifica $f\left(\frac{m}{n}\right)=f(1)^{m/n}.$
    Nota. Esto implica que la función que definida para los racionales.
  8. Demostrar que si $f:\mathbb R\to \mathbb R$ es una función no nula y continua cumpliendo la ecuación funcional $(E)$, entonces $f$ es necesariamente de la forma $f(x)=a^x$ con $a\in \mathbb R_{>0}.$
Soluciones
  1. Para todo $x,y\in\mathbb R$, $f(x+y)=0=0\cdot 0=f(x)f(y).$
  2. Si $f$ no es idénticamente nula existe $x_0\in\mathbb R$ tal que $f(x_0)\ne 0$. Para $y=0$, $f(x_0)=f(x_0+0)=f(x_0)f(0)$ luego $f(0)=1.$
  3. Sea $x_0$ tal que $f(x_0)\ne 0.$ Entonces, $$f(x_0)=f(x+x_0-x)=f(x)f(x_0-x)$$ lo cual implica $f(x)\ne 0.$
  4. Tenemos $f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)^2 > 0.$
  5. Procedemos por inducción. Para $n=0$ tenemos $f(0x)=f(0)=1$ y $f(x)^0=1$ luego la fórmula es cierta. Sea cierta para $n.$ Entonces, $$f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)f(x)=f(x)^nf(x)=f(x)^{n+1}$$ por tanto es cierta para $n+1.$
  6. Tenemos $1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)\Rightarrow f(-x)=f(x)^{-1}.$
  7. Por el problema anterior, bastará demostrarlo para los racionales positivos. Tenemos $$f\left(n\frac{x}{n}\right)=f\left(\frac{x}{n}\right)^n\Rightarrow f\left(\frac{x}{n}\right)\underbrace{=}_{f(x) > 0}f(x)^{1/n}$$ $$\Rightarrow f\left(\frac{m}{n}x\right)=f(x)^{m/n}\underbrace{\Rightarrow}_{x=1}f\left(\frac{m}{n}\right)=f(1)^{m/n} .$$
  8. Llamando $a=f(1)$ y por el problema anterior, $f(x)=a^x$ para todo $x\in\mathbb Q$. El resultado se deduce pues $f$ es continua y $\mathbb R$ es la clausura de $\mathbb Q.$
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