Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Análisis real y complejo. Se irán añadiendo otros sucesivamente.
- Descripción del método de inducción
- Derivada enésima de la función seno
- Desigualdad de Bernoulli
- Binomio de Newton
- Regiones determinadas por $n$ rectas del plano
- Concepto de sucesión
- Límite de una sucesión
- Propiedades de los límites
- Subsucesiones
- Sucesiones monótonas
- Límites infinitos
- Criterios de Stolz y de las medias aritmética y geométrica
- Sucesiones de números reales: problemas diversos
- Familia de sucesiones recurrentes
- Sucesión recurrente con límite raíz de a
- Relación de Fibonacci $f_{2n+1}=f_n^2+f_{n+1}^2$
- Concepto de continuidad. Primeras propiedades
- Continuidad de las funciones elementales
- Continuidad de las funciones no elementales
- Continuidad en intervalos
- Continuidad uniforme en espacios métricos por sucesiones
- Continuidad uniforme
- Caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones
- Teorema de Heine
- Continuidad en una variable: problemas diversos
- Funciones f-continuas
- Funciones monótonas, crecientes y decrecientes
- Caracterización de límites de funciones en espacios métricos por sucesiones
- Concepto de derivada
- Álgebra de derivadas
- Derivación de funciones algebraicas
- Derivación de funciones trigonométricas y circulares inversas
- Derivación de funciones exponenciales y logarítmicas
- Derivación de funciones hiperbólicas
- Derivación de funciones hiperbólicas inversas
- Derivación de funciones compuestas, regla de la cadena
- Derivadas: compendio de reglas y fórmulas
- Teorema de la función inversa
- Derivada de $ (g\circ f^{-1})'(6)$
- Derivada logarítmica
- Derivadas de órdenes superiores
- Fórmula de Leibniz de la derivada enésima
- Aplicaciones geométricas de la derivada
- Aplicaciones físicas de la derivada
- Derivadas infinitas y laterales
- Derivación de funciones implícitas
- Diferencial de una función
- Derivabilidad según parámetros
- Familia de funciones de clase 1
- Desigualdad y número de raíces
- Derivada simétrica
- Derivabilidad absoluta
- Ecuación diferencial y fórmula de Leibniz
- Funciones cumpliendo $f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|$
- Funciones cumpliendo $ f'(\lambda x) = f'(x)\sin x + f(x)\cos x$
- Puntos de inflexión de una familia de curvas
- Puntos de inflexión que yacen en una curva
- Desigualdad con logaritmos
- Teorema de Rolle
- Teorema de Lagrange
- Teorema del valor medio de Cauchy
- Una aplicación del teorema de Rolle
- Diámetro de un subconjunto de R
- Límite de las raíces de $ p_n(x)=x^{n+2}-2x+1 $
- Recíproco del teorema del valor medio
- Polinomio de Taylor
- Fórmula de Taylor
- Aproximación de funciones por polinomios
- La notación o minúscula de Landau
- Fórmula de Taylor con o minúscula
- Una aplicación de la fórmula de Taylor
- Una aproximación racional de la raíz de 5
- Límites de funciones por la definición
- Concepto de indeterminación
- Regla de L’Hôpital para 0/0
- Distintas formas indeterminadas
- Regla de L’Hôpital: problemas diversos
- $\lim_{x\to 0}x\lfloor 1/x\rfloor=0$ (vídeo)
- $L=\lim_{x \to{}0}{\frac{x^2 e^x}{5x-5e^x+5}}$ sin usar la regla de L’Hôpital
- Límite $L=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3} $ por tres métodos
- Integral de la función potencial
- Integrales inmediatas
- Integrales por sustitución o cambio de variable
- Integración por partes
- Integración de funciones racionales (1)
- Integración de funciones racionales (2)
- Integración de funciones racionales (3)
- Integración de funciones racionales, método de Hermite (4)
- Integración de funciones irracionales (1)
- Integración de funciones irracionales (2)
- Integración de funciones irracionales (3)
- Integración de funciones irracionales (4)
- Integración de diferenciales binomias
- Integración de funciones trigonométricas (1)
- Integración de funciones trigonométricas (2)
- Integración de funciones trigonométricas (3)
- Integración de funciones trigonométricas (4)
- Integración de funciones hiperbólicas
- Integrales indefinidas: problemas diversos
- Integral definida como límite de sumas
- Cálculo de límites de sucesiones mediante integrales
- Teorema fundamental del Cálculo
- Regla de Barrow
- Propiedades de la integral definida
- Cotas de la longitud de una elipse.
- Pi es irracional
- Fórmula de Wallis
- Concepto de integral impropia en intervalos infinitos
- Criterios de convergencia de integrales impropias en intervalos infinitos
- Criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos
- Convergencia de las integrales de Fresnel
- Convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos
- Valor principal de Cauchy de una integral impropia
- Integrales impropias en intervalos finitos
- Derivación de integrales dependientes de un parámetro
- Función Gamma de Euler
- Integral mediante las Gamma y Beta de Euler
- Convolución de dos campanas de Gauss
- Integral de Euler-Poisson
- Una integral por derivación paramétrica (1)
- Una integral por derivación paramétrica (2)
- Integral de Gauss o de probabilidades
- Derivación paramétrica y límite
- Cálculo de $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$
- Número combinatorio $\binom{2n}{n}$ e integral
- Igualdad integral $\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin t}{t\log^2 t}dt=\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\cos t}{\log t}dt$
- La función de Thomae es integrable Riemann en [0,1]
- Desigualdad de Jensen
- Límite de la suma finita $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{bk}{n}}}{n}$
- Tres integrales a partir de la de Dirichlet
- Fórmula de Stirling: demostración
- Concepto de serie numérica real
- Convergencia y divergencia de series numéricas
- Esquemas de asociación de series
- Serie geométrica
- Álgebra de series
- Series de términos positivos
- Series absolutamente convergentes
- Criterios de la raíz, cociente y Raabe
- Criterio integral
- Convergencia de las series de Riemann
- Series alternadas, criterio de Leibniz
- Series telescópicas
- Series hipergeométricas
- Series aritmético-geométricas
- Series con factoriales en el denominador
- Suma de series numéricas por desarrollos en serie de funciones
- Series de Bertrand
- El número e es irracional
- Suma de una serie a partir de la de Basilea
- Producto de Cauchy de series, contraejemplo
- Límite puntual
- Convergencia uniforme de sucesiones de funciones
- Polinomios de Bernstein
- Teorema de Dini
- Series uniformemente convergentes. Criterio de Weierstrass
- Series enteras o de potencias, radio de convergencia
- Derivación e integración de series enteras
- Suma de series enteras por derivación o integración
- Serie de Maclaurin
- Desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales
- Función suave pero no analítica
- Convergencia uniforme en un intervalo no acotado
- Sucesión de Fibonacci
- Función exponencial real
- Sucesión funcional con límite Gamma (x)
- Producto de Cauchy de series igual a la unidad
- Suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}$
- Convergencia de una serie según parámetro
- Números armónicos y constante de Euler-Mascheroni
- Teorema de reordenación de Riemann
- Serie de los inversos de los números primos
- Límites reiterados, contraejemplo
- Continuidad y derivadas direccionales
- Diferenciabilidad en varias variables
- Teorema del valor medio escalar
- Una derivada direccional máxima
- Diferencial de una composición
- Puntos de discontinuidad, compacidad
- Funciones homogéneas, teorema de Euler
- Teorema de la función inversa en $\mathbb{R}^n$
- Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$
- Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m$
- Puntos críticos, cados dudosos
- Puntos críticos de $ f(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}(xy)^k $
- Máximos y mínimos condicionados. Multiplicadores de Lagrange
- Paralelepípedo inscrito en un elipsoide
- Extremos de $f(x,y)=x^3+y^3$ sobre una elipse
- Extremos absolutos sobre compactos
- Puntos críticos de $g(x,y)=p(f(x))+p(f(y))$
- Extremos locales de una integral biparamétrica
- Continuidad uniforme y teorema de Tychonoff
- Integral doble como producto de simples
- Integral en el cubo unidad
- Integral de superficie de una función homogénea
- Integral doble impropia por un cambio ortogonal
- Integral doble impropia con parámetros
- Teoremas de Stokes y Gauss: comprobación
- Flujo y circulación de un campo
- Centro de gravedad de una esfera
- Móviles sobre dos circunferencias
- Circulación de un campo y producto mixto
- Potencial de un campo con función homogénea
- Un campo gradiente
- Desarrollo de Taylor de orden $n$ de $f(x,y)=\log (x+y)$
- Extremos de $f:\left(\mathbb{R}^+\right)^3\to \mathbb{R},$ $f(x,y,z)=x^my^nz^p$ sobre un plano
- Integral triple $\iiint_Tx^my^nz^p(1-x-y-z)^qdxdydz$
- Máximo de $ f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n{\log(1+x_i)}$ con $\sum_{i=1}^nx_i=a$
- Distancia de un plano y de una curva al origen
- Puntos críticos con caso dudoso
- Norrma, espacio normado
- Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski
- Normas $p$
- Distancia inducida por la norma
- La distancia es uniformemente continua
- Series en espacios normados
- Normas equivalentes
- Normas no equivalentes
- Propiedades topológicas en los espacios normados
- Aplicaciones lineales continuas entre espacios normados
- Una aplicación lineal discontinua
- Espacios normados de dimensión finita
- Teorema de Riesz
- Todo espacio normado de dimensión finita es de Banach
- Todo subespacio de dimensión finita es cerrado
- Un subespacio no cerrado de un espacio de Banach
- Norma de una aplicación lineal y continua
- Diferenciabilidad entre espacios de Banach
- Criterio de Dirichlet para la convergencia de series
- Criterio de Abel para la convergencia de series
- Espacio de funciones completo y no compacto
- Espacio de Banach de las funciones continuas con la norma del supremo
- Espacio de Banach $l^1(\mathbb{N})$
- Suma $\sum_{k=0}^\infty{(I-A)^k}$ en un espacio de matrices
- Espacios $l_p$
- Normas de matrices y perturbación de sistemas
- Ley del paralelogramo en espacios prehilbertianos
- Identidad de polarización
- Desigualdad de Schwarz y norma en los espacios prehilbertianos
- Espacio prehilbertiano de las sucesiones finitamente no nulas
- Espacio prehilbertiano de las funciones continuas
- El espacio $l^2$ es de Hilbert
- Funciones uniformemente continuas en espacios prehilbertianos
- Vector de norma mínima en un subconjunto de un espacio de Hilbert
- Ortogonalidad en espacios prehilbertianos
- Proyecciones ortogonales en espacios de Hilbert
- Teorema de representación de Riesz-Fréchet
- Teorema de Jordan-Von Neumann
- Teorema de Pitágoras en espacios prehilbertianos
- Desigualdad de Bessel
- Serie de Fourier asociada a un sistema ortonormal
- Proyección estereográfica
- Inversa de la transformación de Möbius
- Grupo de las transformaciones de Möbius
- Isomorfismo entre el grupo de Möbius y $\text{GL}_2(\mathbb{C})/Z$
- Transformaciones de Möbius elementales
- Determinación de una transformación de Möbius
- Derivada compleja
- Ecuaciones de Cauchy-Riemann
- Función exponencial compleja
- Funciones trigonométricas complejas
- Módulo del seno complejo y del coseno complejo
- Funciones hiperbólicas complejas
- Logaritmo complejo
- Funciones armónicas
- Función armónica conjugada
- Familia de funciones armónicas
- Polinomio de Hurwitz
- Funciones holomorfas f: Re (f) + Im (f) =1
- Principio del módulo máximo
- Lema de Schwarz
- Fórmulas integrales de Cauchy
- Demostración del teorema de Liouville (vídeo)
- Teorema fundamental del Álgebra
- Integral $\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos \theta+c\sin\theta}$
- Integral de $\log^3 z dz/z$ en un arco de circunferencia
- Singularidades y residuos de $f(z)=\frac{\sin z}{z^3+z^2-z-1}$
- Singularidades y residuos de $f(z)=\frac{e^{1/z}}{z-1}$
- Singularidad y residuo en el origen de $f(z)=\frac{1}{2+z^2-2\cosh z}$
- Integral $ \int_{T}\bar{z}^2\;dz$ sobre una curva de Jordan
- Integral $ \int_{0}^{+\infty}(\cos x/\cosh x)\;dx $ por residuos
- Función holomorfa biperiódica
- Una integral con residuo en el punto del infinito
- Ceros de las funciones analíticas
- Principio del argumento
- Series complejas: conceptos básicos
- Series complejas: criterios de la raíz y del cociente
- Series complejas enteras, radio de convergencia
- Fórmula de Cauchy-Hadamard
- Teorema de Pitagoras trigonométrico por series de potencias
- Ecuación funcional compleja
- Desarrollo en serie de Laurent
- Serie de Laurent con parámetros
- Recurrente compleja por serie de potencias
- Suma de series por residuos
- Familia de racionales complejas
- Teorema de Rouche
- Función holomorfa: representación integral
- Integral $ \int_0^{+\infty}x\;dx/((1+x)^n-(1-x)^n)$ por residuos
- Una aplicación de las desigualdades de Cauchy
- Un problema de Dirichlet
- Integrales de Fresnel
- Límite de promedios en un polígono regular
- Fórmula integral de Cauchy y matriz exponencial
- Polinomio de Lagrange-Sylvester, representación integral
- Transformado de un polinomio complejo
- Área de una imagen del círculo unidad
- Relación entre dos integrales por residuos
- Una integral trigonométrica en [$0, \pi ]$
- Integral $\int_0^{2\pi}\frac{\cos 3t}{1-2a\cos t+a^2}\;dt $
- Función entera y polinomio
- Integral $ \int_0^{+\infty}x^n\;dx/(x^{2n+1}+1) $
- Integral $\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$ por residuos
- Teorema de Casorati-Weierstrass: singularidades de $1/f$
- Función entera que es polinómica
- Derivabilidad de una función compleja como suma de dos series
- Existencia de ceros en el disco unidad
- Funciones holomorfas en un disco
- Integral compleja dependiente de dos parámetros
- Máximo y mínimo absolutos del módulo de una función compleja
- Serie de Taylor por división en potencias crecientes
- Ceros complejos de las funciones seno y coseno
- Parte principal de la serie de Laurent de $1/\sin^2z$ en $\pi < |z| < 2\pi$
- Función zeta de Riemann
Método de inducción
Sucesiones reales
Continuidad
Derivadas
Teoremas del valor medio
Fórmula de Taylor
Regla de L’Hôpital
Integrales indefinidas
Integrales definidas
Series numéricas y funcionales
Análisis multivariable
Espacios normados
Espacios de Hilbert
Análisis complejo