Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Análisis real y complejo. Se irán añadiendo otros sucesivamente.
- Descripción del método de inducción
- Derivada enésima de la función seno
- Desigualdad de Bernoulli
- Binomio de Newton
- Regiones determinadas por $n$ rectas del plano
- Concepto de sucesión
- Límite de una sucesión
- Propiedades de los límites
- Subsucesiones
- Sucesiones monótonas
- Límites infinitos
- Criterios de Stolz y de las medias aritmética y geométrica
- Sucesiones de números reales: problemas diversos
- Familia de sucesiones recurrentes
- Sucesión recurrente con límite raíz de a
- Relación de Fibonacci $f_{2n+1}=f_n^2+f_{n+1}^2$
- Concepto de continuidad. Primeras propiedades
- Continuidad de las funciones elementales
- Continuidad de las funciones no elementales
- Continuidad en intervalos
- Continuidad uniforme en espacios métricos por sucesiones
- Continuidad uniforme
- Caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones
- Teorema de Heine
- Continuidad en una variable: problemas diversos
- Funciones f-continuas
- Funciones monótonas, crecientes y decrecientes
- Caracterización de límites de funciones en espacios métricos por sucesiones
- Concepto de derivada
- Álgebra de derivadas
- Derivación de funciones algebraicas
- Derivación de funciones trigonométricas y circulares inversas
- Derivación de funciones exponenciales y logarítmicas
- Derivación de funciones hiperbólicas
- Derivación de funciones hiperbólicas inversas
- Derivación de funciones compuestas, regla de la cadena
- Derivadas: compendio de reglas y fórmulas
- Teorema de la función inversa
- Derivada de $ (g\circ f^{-1})'(6)$
- Derivada logarítmica
- Derivadas de órdenes superiores
- Fórmula de Leibniz de la derivada enésima
- Aplicaciones geométricas de la derivada
- Aplicaciones físicas de la derivada
- Derivadas infinitas y laterales
- Derivación de funciones implícitas
- Diferencial de una función
- Derivabilidad según parámetros
- Familia de funciones de clase 1
- Desigualdad y número de raíces
- Derivada simétrica
- Derivabilidad absoluta
- Ecuación diferencial y fórmula de Leibniz
- Funciones cumpliendo $f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|$
- Funciones cumpliendo $ f'(\lambda x) = f'(x)\sin x + f(x)\cos x$
- Puntos de inflexión de una familia de curvas
- Puntos de inflexión que yacen en una curva
- Desigualdad con logaritmos
- Teorema de Rolle
- Teorema de Lagrange
- Teorema del valor medio de Cauchy
- Una aplicación del teorema de Rolle
- Diámetro de un subconjunto de R
- Límite de las raíces de $ p_n(x)=x^{n+2}-2x+1 $
- Recíproco del teorema del valor medio
- Polinomio de Taylor
- Fórmula de Taylor
- Aproximación de funciones por polinomios
- La notación o minúscula de Landau
- Fórmula de Taylor con o minúscula
- Una aplicación de la fórmula de Taylor
- Una aproximación racional de la raíz de 5
- Límites de funciones por la definición
- Concepto de indeterminación
- Regla de L’Hôpital para 0/0
- Distintas formas indeterminadas
- Regla de L’Hôpital: problemas diversos
- $\lim_{x\to 0}x\lfloor 1/x\rfloor=0$ (vídeo)
- $L=\lim_{x \to{}0}{\frac{x^2 e^x}{5x-5e^x+5}}$ sin usar la regla de L’Hôpital
- Límite $L=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3} $ por tres métodos
- Gráfica de $f(x)=x^3-3x^2$
- Gráfica de $f(x)=|x^3-3x^2|$
- Gráfica de $f(x)=\frac{1}{9}(6x^2-x^4)$
- Gráfica de $f(x)=\dfrac{x^3}{(x-1)^2}$
- Gráfica de $f(x)=\dfrac{x^3}{x^2-1}$
- Gráfica de $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{4-x}$
- Gráfica de $f(x)=\sqrt{8+x}-\sqrt{8-x}$
- Gráfica de $f(x)=xe^{-x}$
- Gráfica de la astroide $x=a\cos^3t,\;y=a\sin^3t,\; (a > 0) $
- Gráfica de $f(x)=x(x^2-1)^{-1/3}$
- Integral de la función potencial
- Integrales inmediatas
- Integrales por sustitución o cambio de variable
- Integración por partes
- Integración de funciones racionales (1)
- Integración de funciones racionales (2)
- Integración de funciones racionales (3)
- Integración de funciones racionales, método de Hermite (4)
- Integración de funciones irracionales (1)
- Integración de funciones irracionales (2)
- Integración de funciones irracionales (3)
- Integración de funciones irracionales (4)
- Integración de diferenciales binomias
- Integración de funciones trigonométricas (1)
- Integración de funciones trigonométricas (2)
- Integración de funciones trigonométricas (3)
- Integración de funciones trigonométricas (4)
- Integración de funciones hiperbólicas
- Integrales indefinidas: problemas diversos
- Integral definida como límite de sumas
- Cálculo de límites de sucesiones mediante integrales
- Teorema fundamental del Cálculo
- Regla de Barrow
- Propiedades de la integral definida
- Cotas de la longitud de una elipse.
- Pi es irracional
- Fórmula de Wallis
- Concepto de integral impropia en intervalos infinitos
- Criterios de convergencia de integrales impropias en intervalos infinitos
- Criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos
- Convergencia de las integrales de Fresnel
- Convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos
- Valor principal de Cauchy de una integral impropia
- Integrales impropias en intervalos finitos
- Derivación de integrales dependientes de un parámetro
- Función Gamma de Euler
- Integral mediante las Gamma y Beta de Euler
- Convolución de dos campanas de Gauss
- Integral de Euler-Poisson
- Una integral por derivación paramétrica (1)
- Una integral por derivación paramétrica (2)
- Integral de Gauss o de probabilidades
- Derivación paramétrica y límite
- Cálculo de $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$
- Número combinatorio $\binom{2n}{n}$ e integral
- Igualdad integral $\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin t}{t\log^2 t}dt=\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\cos t}{\log t}dt$
- La función de Thomae es integrable Riemann en [0,1]
- Desigualdad de Jensen
- Límite de la suma finita $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{bk}{n}}}{n}$
- Tres integrales a partir de la de Dirichlet
- Fórmula de Stirling: demostración
- Concepto de serie numérica real
- Convergencia y divergencia de series numéricas
- Esquemas de asociación de series
- Serie geométrica
- Álgebra de series
- Series de términos positivos
- Series absolutamente convergentes
- Criterios de la raíz, cociente y Raabe
- Criterio integral
- Convergencia de las series de Riemann
- Series alternadas, criterio de Leibniz
- Series telescópicas
- Series hipergeométricas
- Series aritmético-geométricas
- Series con factoriales en el denominador
- Suma de series numéricas por desarrollos en serie de funciones
- Series de Bertrand
- El número e es irracional
- Suma de una serie a partir de la de Basilea
- Producto de Cauchy de series, contraejemplo
- Límite puntual
- Convergencia uniforme de sucesiones de funciones
- Polinomios de Bernstein
- Teorema de Dini
- Series uniformemente convergentes. Criterio de Weierstrass
- Series enteras o de potencias, radio de convergencia
- Derivación e integración de series enteras
- Suma de series enteras por derivación o integración
- Serie de Maclaurin
- Desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales
- Función suave pero no analítica
- Convergencia uniforme en un intervalo no acotado
- Sucesión de Fibonacci
- Función exponencial real
- Sucesión funcional con límite Gamma (x)
- Producto de Cauchy de series igual a la unidad
- Suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}$
- Convergencia de una serie según parámetro
- Números armónicos y constante de Euler-Mascheroni
- Teorema de reordenación de Riemann
- Serie de los inversos de los números primos
- Límites reiterados, contraejemplo
- Continuidad y derivadas direccionales
- Diferenciabilidad en varias variables
- Teorema del valor medio escalar
- Una derivada direccional máxima
- Diferencial de una composición
- Puntos de discontinuidad, compacidad
- Funciones homogéneas, teorema de Euler
- Teorema de la función inversa en $\mathbb{R}^n$
- Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$
- Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m$
- Puntos críticos, cados dudosos
- Puntos críticos de $ f(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}(xy)^k $
- Máximos y mínimos condicionados. Multiplicadores de Lagrange
- Paralelepípedo inscrito en un elipsoide
- Extremos de $f(x,y)=x^3+y^3$ sobre una elipse
- Extremos absolutos sobre compactos
- Puntos críticos de $g(x,y)=p(f(x))+p(f(y))$
- Extremos locales de una integral biparamétrica
- Continuidad uniforme y teorema de Tychonoff
- Integral doble como producto de simples
- Integral en el cubo unidad
- Integral de superficie de una función homogénea
- Integral doble impropia por un cambio ortogonal
- Integral doble impropia con parámetros
- Teoremas de Stokes y Gauss: comprobación
- Flujo y circulación de un campo
- Centro de gravedad de una esfera
- Móviles sobre dos circunferencias
- Circulación de un campo y producto mixto
- Potencial de un campo con función homogénea
- Un campo gradiente
- Desarrollo de Taylor de orden $n$ de $f(x,y)=\log (x+y)$
- Extremos de $f:\left(\mathbb{R}^+\right)^3\to \mathbb{R},$ $f(x,y,z)=x^my^nz^p$ sobre un plano
- Integral triple $\iiint_Tx^my^nz^p(1-x-y-z)^qdxdydz$
- Máximo de $ f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n{\log(1+x_i)}$ con $\sum_{i=1}^nx_i=a$
- Distancia de un plano y de una curva al origen
- Puntos críticos con caso dudoso
- Norrma, espacio normado
- Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski
- Normas $p$
- Distancia inducida por la norma
- La distancia es uniformemente continua
- Series en espacios normados
- Normas equivalentes
- Normas no equivalentes
- Propiedades topológicas en los espacios normados
- Aplicaciones lineales continuas entre espacios normados
- Una aplicación lineal discontinua
- Espacios normados de dimensión finita
- Teorema de Riesz
- Todo espacio normado de dimensión finita es de Banach
- Todo subespacio de dimensión finita es cerrado
- Un subespacio no cerrado de un espacio de Banach
- Norma de una aplicación lineal y continua
- Diferenciabilidad entre espacios de Banach
- Criterio de Dirichlet para la convergencia de series
- Criterio de Abel para la convergencia de series
- Espacio de funciones completo y no compacto
- Espacio de Banach de las funciones continuas con la norma del supremo
- Espacio de Banach $l^1(\mathbb{N})$
- Suma $\sum_{k=0}^\infty{(I-A)^k}$ en un espacio de matrices
- Espacios $l_p$
- Normas de matrices y perturbación de sistemas
- Ley del paralelogramo en espacios prehilbertianos
- Identidad de polarización
- Desigualdad de Schwarz y norma en los espacios prehilbertianos
- Espacio prehilbertiano de las sucesiones finitamente no nulas
- Espacio prehilbertiano de las funciones continuas
- El espacio $l^2$ es de Hilbert
- Funciones uniformemente continuas en espacios prehilbertianos
- Vector de norma mínima en un subconjunto de un espacio de Hilbert
- Ortogonalidad en espacios prehilbertianos
- Proyecciones ortogonales en espacios de Hilbert
- Teorema de representación de Riesz-Fréchet
- Teorema de Jordan-Von Neumann
- Teorema de Pitágoras en espacios prehilbertianos
- Desigualdad de Bessel
- Serie de Fourier asociada a un sistema ortonormal
- Proyección estereográfica
- Inversa de la transformación de Möbius
- Grupo de las transformaciones de Möbius
- Isomorfismo entre el grupo de Möbius y $\text{GL}_2(\mathbb{C})/Z$
- Transformaciones de Möbius elementales
- Determinación de una transformación de Möbius
- Derivada compleja
- Ecuaciones de Cauchy-Riemann
- Función exponencial compleja
- Funciones trigonométricas complejas
- Módulo del seno complejo y del coseno complejo
- Funciones hiperbólicas complejas
- Logaritmo complejo
- Funciones armónicas
- Función armónica conjugada
- Familia de funciones armónicas
- Polinomio de Hurwitz
- Funciones holomorfas f: Re (f) + Im (f) =1
- Principio del módulo máximo
- Lema de Schwarz
- Fórmulas integrales de Cauchy
- Demostración del teorema de Liouville (vídeo)
- Teorema fundamental del Álgebra
- Integral $\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos \theta+c\sin\theta}$
- Integral de $\log^3 z dz/z$ en un arco de circunferencia
- Singularidades y residuos de $f(z)=\frac{\sin z}{z^3+z^2-z-1}$
- Singularidades y residuos de $f(z)=\frac{e^{1/z}}{z-1}$
- Singularidad y residuo en el origen de $f(z)=\frac{1}{2+z^2-2\cosh z}$
- Integral $ \int_{T}\bar{z}^2\;dz$ sobre una curva de Jordan
- Integral $ \int_{0}^{+\infty}(\cos x/\cosh x)\;dx $ por residuos
- Función holomorfa biperiódica
- Una integral con residuo en el punto del infinito
- Ceros de las funciones analíticas
- Principio del argumento
- Series complejas: conceptos básicos
- Series complejas: criterios de la raíz y del cociente
- Series complejas enteras, radio de convergencia
- Fórmula de Cauchy-Hadamard
- Teorema de Pitagoras trigonométrico por series de potencias
- Ecuación funcional compleja
- Desarrollo en serie de Laurent
- Serie de Laurent con parámetros
- Recurrente compleja por serie de potencias
- Suma de series por residuos
- Familia de racionales complejas
- Teorema de Rouche
- Función holomorfa: representación integral
- Integral $ \int_0^{+\infty}x\;dx/((1+x)^n-(1-x)^n)$ por residuos
- Una aplicación de las desigualdades de Cauchy
- Un problema de Dirichlet
- Integrales de Fresnel
- Límite de promedios en un polígono regular
- Fórmula integral de Cauchy y matriz exponencial
- Polinomio de Lagrange-Sylvester, representación integral
- Transformado de un polinomio complejo
- Área de una imagen del círculo unidad
- Relación entre dos integrales por residuos
- Una integral trigonométrica en [$0, \pi ]$
- Integral $\int_0^{2\pi}\frac{\cos 3t}{1-2a\cos t+a^2}\;dt $
- Función entera y polinomio
- Integral $ \int_0^{+\infty}x^n\;dx/(x^{2n+1}+1) $
- Integral $\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$ por residuos
- Teorema de Casorati-Weierstrass: singularidades de $1/f$
- Función entera que es polinómica
- Derivabilidad de una función compleja como suma de dos series
- Existencia de ceros en el disco unidad
- Funciones holomorfas en un disco
- Integral compleja dependiente de dos parámetros
- Máximo y mínimo absolutos del módulo de una función compleja
- Serie de Taylor por división en potencias crecientes
- Ceros complejos de las funciones seno y coseno
- Parte principal de la serie de Laurent de $1/\sin^2z$ en $\pi < |z| < 2\pi$
- Función zeta de Riemann
Método de inducción
Sucesiones reales
Continuidad
Derivadas
Teoremas del valor medio
Fórmula de Taylor
Regla de L’Hôpital
Representación gráfica de funciones
Integrales indefinidas
Integrales definidas
Series numéricas y funcionales
Análisis multivariable
Espacios normados
Espacios de Hilbert
Análisis complejo
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