Análisis real y complejo

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Análisis real y complejo. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Método de inducción
  1. Descripción del método de inducción
  2. Derivada enésima de la función seno
  3. Desigualdad de Bernoulli
  4. Binomio de Newton
  5. Regiones determinadas por $n$ rectas del plano
  6. Sucesiones reales
  7. Concepto de sucesión
  8. Límite de una sucesión
  9. Propiedades de los límites
  10. Subsucesiones
  11. Sucesiones monótonas
  12. Límites infinitos
  13. Criterios de Stolz y de las medias aritmética y geométrica
  14. Sucesiones de números reales: problemas diversos
  15. Familia de sucesiones recurrentes
  16. Sucesión recurrente con límite raíz de a
  17. Relación de Fibonacci $f_{2n+1}=f_n^2+f_{n+1}^2$
  18. Continuidad
  19. Concepto de continuidad. Primeras propiedades
  20. Continuidad de las funciones elementales
  21. Continuidad de las funciones no elementales
  22. Continuidad en intervalos
  23. Continuidad uniforme en espacios métricos por sucesiones
  24. Continuidad uniforme
  25. Caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones
  26. Teorema de Heine
  27. Continuidad en una variable: problemas diversos
  28. Funciones f-continuas
  29. Funciones monótonas, crecientes y decrecientes
  30. Caracterización de límites de funciones en espacios métricos por sucesiones
  31. Derivadas
  32. Concepto de derivada
  33. Álgebra de derivadas
  34. Derivación de funciones algebraicas
  35. Derivación de funciones trigonométricas y circulares inversas
  36. Derivación de funciones exponenciales y logarítmicas
  37. Derivación de funciones hiperbólicas
  38. Derivación de funciones hiperbólicas inversas
  39. Derivación de funciones compuestas, regla de la cadena
  40. Derivadas: compendio de reglas y fórmulas
  41. Teorema de la función inversa
  42. Derivada de $ (g\circ f^{-1})'(6)$
  43. Derivada logarítmica
  44. Derivadas de órdenes superiores
  45. Fórmula de Leibniz de la derivada enésima
  46. Aplicaciones geométricas de la derivada
  47. Aplicaciones físicas de la derivada
  48. Derivadas infinitas y laterales
  49. Derivación de funciones implícitas
  50. Diferencial de una función
  51. Derivabilidad según parámetros
  52. Familia de funciones de clase 1
  53. Desigualdad y número de raíces
  54. Derivada simétrica
  55. Derivabilidad absoluta
  56. Ecuación diferencial y fórmula de Leibniz
  57. Funciones cumpliendo $f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|$
  58. Funciones cumpliendo $ f'(\lambda x) = f'(x)\sin x + f(x)\cos x$
  59. Puntos de inflexión de una familia de curvas
  60. Teoremas del valor medio
  61. Teorema de Rolle
  62. Teorema de Lagrange
  63. Teorema del valor medio de Cauchy
  64. Una aplicación del teorema de Rolle
  65. Diámetro de un subconjunto de R
  66. Límite de las raíces de $ p_n(x)=x^{n+2}-2x+1 $
  67. Recíproco del teorema del valor medio
  68. Fórmula de Taylor
  69. Polinomio de Taylor
  70. Fórmula de Taylor
  71. Aproximación de funciones por polinomios
  72. La notación o minúscula de Landau
  73. Fórmula de Taylor con o minúscula
  74. Una aplicación de la fórmula de Taylor
  75. Una aproximación racional de la raíz de 5
  76. Regla de L’Hôpital
  77. Límites de funciones por la definición
  78. Concepto de indeterminación
  79. Regla de L’Hôpital para 0/0
  80. Distintas formas indeterminadas
  81. Regla de L’Hôpital: problemas diversos
  82. $\lim_{x\to 0}x\lfloor 1/x\rfloor=0$ (vídeo)
  83. $L=\lim_{x \to{}0}{\frac{x^2 e^x}{5x-5e^x+5}}$ sin usar la regla de L’Hôpital
  84. Límite $L=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3} $ por tres métodos
  85. Integrales indefinidas
  86. Integral de la función potencial
  87. Integrales inmediatas
  88. Integrales por sustitución o cambio de variable
  89. Integración por partes
  90. Integración de funciones racionales (1)
  91. Integración de funciones racionales (2)
  92. Integración de funciones racionales (3)
  93. Integración de funciones racionales, método de Hermite (4)
  94. Integración de funciones irracionales (1)
  95. Integración de funciones irracionales (2)
  96. Integración de funciones irracionales (3)
  97. Integración de funciones irracionales (4)
  98. Integración de diferenciales binomias
  99. Integración de funciones trigonométricas (1)
  100. Integración de funciones trigonométricas (2)
  101. Integración de funciones trigonométricas (3)
  102. Integración de funciones trigonométricas (4)
  103. Integración de funciones hiperbólicas
  104. Integrales indefinidas: problemas diversos
  105. Integrales definidas
  106. Integral definida como límite de sumas
  107. Cálculo de límites de sucesiones mediante integrales
  108. Teorema fundamental del Cálculo
  109. Regla de Barrow
  110. Propiedades de la integral definida
  111. Cotas de la longitud de una elipse.
  112. Pi es irracional
  113. Fórmula de Wallis
  114. Concepto de integral impropia en intervalos infinitos
  115. Criterios de convergencia de integrales impropias en intervalos infinitos
  116. Criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos
  117. Convergencia de las integrales de Fresnel
  118. Convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos
  119. Valor principal de Cauchy de una integral impropia
  120. Integrales impropias en intervalos finitos
  121. Derivación de integrales dependientes de un parámetro
  122. Función Gamma de Euler
  123. Integral mediante las Gamma y Beta de Euler
  124. Convolución de dos campanas de Gauss
  125. Integral de Euler-Poisson
  126. Una integral por derivación paramétrica (1)
  127. Una integral por derivación paramétrica (2)
  128. Integral de Gauss o de probabilidades
  129. Derivación paramétrica y límite
  130. Cálculo de $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$
  131. Número combinatorio $\binom{2n}{n}$ e integral
  132. Igualdad integral $\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin t}{t\log^2 t}dt=\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\cos t}{\log t}dt$
  133. La función de Thomae es integrable Riemann en [0,1]
  134. Desigualdad de Jensen
  135. Límite de la suma finita $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{bk}{n}}}{n}$
  136. Tres integrales a partir de la de Dirichlet
  137. Fórmula de Stirling: demostración
  138. Series numéricas y funcionales
  139. Concepto de serie numérica real
  140. Convergencia y divergencia de series numéricas
  141. Esquemas de asociación de series
  142. Serie geométrica
  143. Álgebra de series
  144. Series de términos positivos
  145. Series absolutamente convergentes
  146. Criterios de la raíz, cociente y Raabe
  147. Criterio integral
  148. Convergencia de las series de Riemann
  149. Series alternadas, criterio de Leibniz
  150. Series telescópicas
  151. Series hipergeométricas
  152. Series aritmético-geométricas
  153. Series con factoriales en el denominador
  154. Suma de series numéricas por desarrollos en serie de funciones
  155. Series de Bertrand
  156. El número e es irracional
  157. Suma de una serie a partir de la de Basilea
  158. Producto de Cauchy de series, contraejemplo
  159. Límite puntual
  160. Convergencia uniforme de sucesiones de funciones
  161. Polinomios de Bernstein
  162. Teorema de Dini
  163. Series uniformemente convergentes. Criterio de Weierstrass
  164. Series enteras o de potencias, radio de convergencia
  165. Derivación e integración de series enteras
  166. Suma de series enteras por derivación o integración
  167. Serie de Maclaurin
  168. Desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales
  169. Función suave pero no analítica
  170. Convergencia uniforme en un intervalo no acotado
  171. Sucesión de Fibonacci
  172. Función exponencial real
  173. Sucesión funcional con límite Gamma (x)
  174. Producto de Cauchy de series igual a la unidad
  175. Suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}$
  176. Convergencia de una serie según parámetro
  177. Números armónicos y constante de Euler-Mascheroni
  178. Teorema de reordenación de Riemann
  179. Serie de los inversos de los números primos
  180. Análisis multivariable
  181. Límites reiterados, contraejemplo
  182. Continuidad y derivadas direccionales
  183. Diferenciabilidad en varias variables
  184. Teorema del valor medio escalar
  185. Una derivada direccional máxima
  186. Diferencial de una composición
  187. Puntos de discontinuidad, compacidad
  188. Funciones homogéneas, teorema de Euler
  189. Teorema de la función inversa en $\mathbb{R}^n$
  190. Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$
  191. Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m$
  192. Puntos críticos, cados dudosos
  193. Puntos críticos de $ f(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}(xy)^k $
  194. Máximos y mínimos condicionados. Multiplicadores de Lagrange
  195. Paralelepípedo inscrito en un elipsoide
  196. Extremos absolutos sobre compactos
  197. Puntos críticos de $g(x,y)=p(f(x))+p(f(y))$
  198. Extremos locales de una integral biparamétrica
  199. Continuidad uniforme y teorema de Tychonoff
  200. Integral doble como producto de simples
  201. Integral en el cubo unidad
  202. Integral de superficie de una función homogénea
  203. Integral doble impropia por un cambio ortogonal
  204. Integral doble impropia con parámetros
  205. Teoremas de Stokes y Gauss: comprobación
  206. Flujo y circulación de un campo
  207. Centro de gravedad de una esfera
  208. Móviles sobre dos circunferencias
  209. Circulación de un campo y producto mixto
  210. Potencial de un campo con función homogénea
  211. Un campo gradiente
  212. Desarrollo de Taylor de orden $n$ de $f(x,y)=\log (x+y)$
  213. Extremos de $f:\left(\mathbb{R}^+\right)^3\to \mathbb{R},$ $f(x,y,z)=x^my^nz^p$ sobre un plano
  214. Integral triple $\iiint_Tx^my^nz^p(1-x-y-z)^qdxdydz$
  215. Máximo de $ f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n{\log(1+x_i)}$ con $\sum_{i=1}^nx_i=a$
  216. Distancia de un plano y de una curva al origen
  217. Puntos críticos con caso dudoso
  218. Espacios normados
  219. Norrma, espacio normado
  220. Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski
  221. Normas $p$
  222. Distancia inducida por la norma
  223. La distancia es uniformemente continua
  224. Series en espacios normados
  225. Normas equivalentes
  226. Normas no equivalentes
  227. Propiedades topológicas en los espacios normados
  228. Aplicaciones lineales continuas entre espacios normados
  229. Una aplicación lineal discontinua
  230. Espacios normados de dimensión finita
  231. Teorema de Riesz
  232. Todo espacio normado de dimensión finita es de Banach
  233. Todo subespacio de dimensión finita es cerrado
  234. Un subespacio no cerrado de un espacio de Banach
  235. Norma de una aplicación lineal y continua
  236. Diferenciabilidad entre espacios de Banach
  237. Criterio de Dirichlet para la convergencia de series
  238. Criterio de Abel para la convergencia de series
  239. Espacio de funciones completo y no compacto
  240. Espacio de Banach de las funciones continuas con la norma del supremo
  241. Espacio de Banach $l^1(\mathbb{N})$
  242. Suma $\sum_{k=0}^\infty{(I-A)^k}$ en un espacio de matrices
  243. Espacios $l_p$
  244. Normas de matrices y perturbación de sistemas
  245. Espacios de Hilbert
  246. Ley del paralelogramo en espacios prehilbertianos
  247. Identidad de polarización
  248. Desigualdad de Schwarz y norma en los espacios prehilbertianos
  249. Espacio prehilbertiano de las sucesiones finitamente no nulas
  250. Espacio prehilbertiano de las funciones continuas
  251. El espacio $l^2$ es de Hilbert
  252. Funciones uniformemente continuas en espacios prehilbertianos
  253. Vector de norma mínima en un subconjunto de un espacio de Hilbert
  254. Ortogonalidad en espacios prehilbertianos
  255. Proyecciones ortogonales en espacios de Hilbert
  256. Teorema de representación de Riesz-Fréchet
  257. Teorema de Jordan-Von Neumann
  258. Teorema de Pitágoras en espacios prehilbertianos
  259. Desigualdad de Bessel
  260. Serie de Fourier asociada a un sistema ortonormal
  261. Análisis complejo
  262. Proyección estereográfica
  263. Derivada compleja
  264. Ecuaciones de Cauchy-Riemann
  265. Función exponencial compleja
  266. Funciones trigonométricas complejas
  267. Funciones hiperbólicas complejas
  268. Logaritmo complejo
  269. Funciones armónicas
  270. Función armónica conjugada
  271. Familia de funciones armónicas
  272. Polinomio de Hurwitz
  273. Funciones holomorfas f: Re (f) + Im (f) =1
  274. Principio del módulo máximo
  275. Lema de Schwarz
  276. Fórmulas integrales de Cauchy
  277. Demostración del teorema de Liouville (vídeo)
  278. Teorema fundamental del Álgebra
  279. Integral $\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos \theta+c\sin\theta}$
  280. Integral de $\log^3 z dz/z$ en un arco de circunferencia
  281. Singularidades y residuos de $f(z)=\frac{\sin z}{z^3+z^2-z-1}$
  282. Singularidades y residuos de $f(z)=\frac{e^{1/z}}{z-1}$
  283. Singularidad y residuo en el origen de $f(z)=\frac{1}{2+z^2-2\cosh z}$
  284. Integral $ \int_{T}\bar{z}^2\;dz$ sobre una curva de Jordan
  285. Integral $ \int_{0}^{+\infty}(\cos x/\cosh x)\;dx $ por residuos
  286. Función holomorfa biperiódica
  287. Una integral con residuo en el punto del infinito
  288. Ceros de las funciones analíticas
  289. Series complejas: conceptos básicos
  290. Series complejas: criterios de la raíz y del cociente
  291. Series complejas enteras, radio de convergencia
  292. Fórmula de Cauchy-Hadamard
  293. Teorema de Pitagoras trigonométrico por series de potencias
  294. Ecuación funcional compleja
  295. Desarrollo en serie de Laurent
  296. Serie de Laurent con parámetros
  297. Recurrente compleja por serie de potencias
  298. Suma de series por residuos
  299. Familia de racionales complejas
  300. Teorema de Rouche
  301. Función holomorfa: representación integral
  302. Integral $ \int_0^{+\infty}x\;dx/((1+x)^n-(1-x)^n)$ por residuos
  303. Una aplicación de las desigualdades de Cauchy
  304. Un problema de Dirichlet
  305. Integrales de Fresnel
  306. Límite de promedios en un polígono regular
  307. Fórmula integral de Cauchy y matriz exponencial
  308. Polinomio de Lagrange-Sylvester, representación integral
  309. Transformado de un polinomio complejo
  310. Área de una imagen del círculo unidad
  311. Relación entre dos integrales por residuos
  312. Una integral trigonométrica en [$0, \pi ]$
  313. Integral $\int_0^{2\pi}\frac{\cos 3t}{1-2a\cos t+a^2}\;dt $
  314. Función entera y polinomio
  315. Integral $ \int_0^{+\infty}x^n\;dx/(x^{2n+1}+1) $
  316. Integral $\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$ por residuos
  317. Teorema de Casorati-Weierstrass: singularidades de $1/f$
  318. Función entera que es polinómica
  319. Derivabilidad de una función compleja como suma de dos series
  320. Existencia de ceros en el disco unidad
  321. Funciones holomorfas en un disco
  322. Integral compleja dependiente de dos parámetros
  323. Máximo y mínimo absolutos del módulo de una función compleja
  324. Serie de Taylor por división en potencias crecientes
  325. Ceros complejos de las funciones seno y coseno
  326. Parte principal de la serie de Laurent de $1/\sin^2z$ en $\pi < |z| < 2\pi$