Análisis real y complejo

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Análisis real y complejo. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Método de inducción
  1. Descripción del método de inducción
  2. Derivada enésima de la función seno
  3. Desigualdad de Bernoulli
  4. Binomio de Newton
  5. Regiones determinadas por $n$ rectas del plano
  6. Sucesiones reales
  7. Concepto de sucesión
  8. Límite de una sucesión
  9. Propiedades de los límites
  10. Subsucesiones
  11. Sucesiones monótonas
  12. Límites infinitos
  13. Criterios de Stolz y de las medias aritmética y geométrica
  14. Sucesiones de números reales: problemas diversos
  15. Familia de sucesiones recurrentes
  16. Sucesión recurrente con límite raíz de a
  17. Continuidad
  18. Concepto de continuidad. Primeras propiedades
  19. Continuidad de las funciones elementales
  20. Continuidad de las funciones no elementales
  21. Continuidad en intervalos
  22. Continuidad uniforme en espacios métricos por sucesiones
  23. Continuidad uniforme
  24. Caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones
  25. Teorema de Heine
  26. Continuidad en una variable: problemas diversos
  27. Funciones f-continuas
  28. Funciones monótonas, crecientes y decrecientes
  29. Caracterización de límites de funciones en espacios métricos por sucesiones
  30. Derivadas
  31. Concepto de derivada
  32. Álgebra de derivadas
  33. Derivación de funciones algebraicas
  34. Derivación de funciones trigonométricas y circulares inversas
  35. Derivación de funciones exponenciales y logarítmicas
  36. Derivación de funciones hiperbólicas
  37. Derivación de funciones hiperbólicas inversas
  38. Derivación de funciones compuestas, regla de la cadena
  39. Derivadas: compendio de reglas y fórmulas
  40. Teorema de la función inversa
  41. Derivada de $ (g\circ f^{-1})'(6)$
  42. Derivada logarítmica
  43. Derivadas de órdenes superiores
  44. Fórmula de Leibniz de la derivada enésima
  45. Aplicaciones geométricas de la derivada
  46. Aplicaciones físicas de la derivada
  47. Derivadas infinitas y laterales
  48. Derivación de funciones implícitas
  49. Diferencial de una función
  50. Derivabilidad según parámetros
  51. Familia de funciones de clase 1
  52. Desigualdad y número de raíces
  53. Derivada simétrica
  54. Derivabilidad absoluta
  55. Ecuación diferencial y fórmula de Leibniz
  56. Funciones cumpliendo $f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|$
  57. Funciones cumpliendo $ f'(\lambda x) = f'(x)\sin x + f(x)\cos x$
  58. Puntos de inflexión de una familia de curvas
  59. Teoremas del valor medio
  60. Teorema de Rolle
  61. Teorema de Lagrange
  62. Teorema del valor medio de Cauchy
  63. Una aplicación del teorema de Rolle
  64. Diámetro de un subconjunto de R
  65. Límite de las raíces de $ p_n(x)=x^{n+2}-2x+1 $
  66. Recíproco del teorema del valor medio
  67. Fórmula de Taylor
  68. Polinomio de Taylor
  69. Fórmula de Taylor
  70. Aproximación de funciones por polinomios
  71. La notación o minúscula de Landau
  72. Fórmula de Taylor con o minúscula
  73. Una aplicación de la fórmula de Taylor
  74. Una aproximación racional de la raíz de 5
  75. Regla de L’Hôpital
  76. Límites de funciones por la definición
  77. Concepto de indeterminación
  78. Regla de L’Hôpital para 0/0
  79. Distintas formas indeterminadas
  80. Regla de L’Hôpital: problemas diversos
  81. $\lim_{x\to 0}x\lfloor 1/x\rfloor=0$ (vídeo)
  82. $L=\lim_{x \to{}0}{\frac{x^2 e^x}{5x-5e^x+5}}$ sin usar la regla de L’Hôpital
  83. Límite $L=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3} $ por tres métodos
  84. Integrales indefinidas
  85. Integral de la función potencial
  86. Integrales inmediatas
  87. Integrales por sustitución o cambio de variable
  88. Integración por partes
  89. Integración de funciones racionales (1)
  90. Integración de funciones racionales (2)
  91. Integración de funciones racionales (3)
  92. Integración de funciones racionales, método de Hermite (4)
  93. Integración de funciones irracionales (1)
  94. Integración de funciones irracionales (2)
  95. Integración de funciones irracionales (3)
  96. Integración de funciones irracionales (4)
  97. Integración de diferenciales binomias
  98. Integración de funciones trigonométricas (1)
  99. Integración de funciones trigonométricas (2)
  100. Integración de funciones trigonométricas (3)
  101. Integración de funciones trigonométricas (4)
  102. Integración de funciones hiperbólicas
  103. Integrales indefinidas: problemas diversos
  104. Integrales definidas
  105. Integral definida como límite de sumas
  106. Cálculo de límites de sucesiones mediante integrales
  107. Teorema fundamental del Cálculo
  108. Regla de Barrow
  109. Propiedades de la integral definida
  110. Cotas de la longitud de una elipse.
  111. Pi es irracional
  112. Fórmula de Wallis
  113. Concepto de integral impropia en intervalos infinitos
  114. Criterios de convergencia de integrales impropias en intervalos infinitos
  115. Criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos
  116. Convergencia de las integrales de Fresnel
  117. Convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos
  118. Valor principal de Cauchy de una integral impropia
  119. Integrales impropias en intervalos finitos
  120. Derivación de integrales dependientes de un parámetro
  121. Función Gamma de Euler
  122. Integral mediante las Gamma y Beta de Euler
  123. Convolución de dos campanas de Gauss
  124. Integral de Euler-Poisson
  125. Una integral por derivación paramétrica (1)
  126. Una integral por derivación paramétrica (2)
  127. Integral de Gauss o de probabilidades
  128. Derivación paramétrica y límite
  129. Cálculo de $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$
  130. Número combinatorio $\binom{2n}{n}$ e integral
  131. Igualdad integral $\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin t}{t\log^2 t}dt=\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\cos t}{\log t}dt$
  132. La función de Thomae es integrable Riemann en [0,1]
  133. Desigualdad de Jensen
  134. Límite de la suma finita $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{bk}{n}}}{n}$
  135. Tres integrales a partir de la de Dirichlet
  136. Fórmula de Stirling: demostración
  137. Series numéricas y funcionales
  138. Concepto de serie numérica real
  139. Convergencia y divergencia de series numéricas
  140. Esquemas de asociación de series
  141. Serie geométrica
  142. Álgebra de series
  143. Series de términos positivos
  144. Series absolutamente convergentes
  145. Criterios de la raíz, cociente y Raabe
  146. Criterio integral
  147. Convergencia de las series de Riemann
  148. Series alternadas, criterio de Leibniz
  149. Series telescópicas
  150. Series hipergeométricas
  151. Series aritmético-geométricas
  152. Series con factoriales en el denominador
  153. Suma de series numéricas por desarrollos en serie de funciones
  154. Series de Bertrand
  155. El número e es irracional
  156. Suma de una serie a partir de la de Basilea
  157. Producto de Cauchy de series, contraejemplo
  158. Límite puntual
  159. Convergencia uniforme de sucesiones de funciones
  160. Polinomios de Bernstein
  161. Teorema de Dini
  162. Series uniformemente convergentes. Criterio de Weierstrass
  163. Series enteras o de potencias, radio de convergencia
  164. Derivación e integración de series enteras
  165. Suma de series enteras por derivación o integración
  166. Serie de Maclaurin
  167. Desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales
  168. Función suave pero no analítica
  169. Convergencia uniforme en un intervalo no acotado
  170. Sucesión de Fibonacci
  171. Función exponencial real
  172. Sucesión funcional con límite Gamma (x)
  173. Producto de Cauchy de series igual a la unidad
  174. Suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}$
  175. Convergencia de una serie según parámetro
  176. Números armónicos y constante de Euler-Mascheroni
  177. Teorema de reordenación de Riemann
  178. Serie de los inversos de los números primos
  179. Análisis multivariable
  180. Límites reiterados, contraejemplo
  181. Continuidad y derivadas direccionales
  182. Diferenciabilidad en varias variables
  183. Teorema del valor medio escalar
  184. Una derivada direccional máxima
  185. Diferencial de una composición
  186. Puntos de discontinuidad, compacidad
  187. Funciones homogéneas, teorema de Euler
  188. Teorema de la función inversa en $\mathbb{R}^n$
  189. Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$
  190. Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m$
  191. Puntos críticos, cados dudosos
  192. Puntos críticos de $ f(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}(xy)^k $
  193. Máximos y mínimos condicionados. Multiplicadores de Lagrange
  194. Paralelepípedo inscrito en un elipsoide
  195. Extremos absolutos sobre compactos
  196. Puntos críticos de $g(x,y)=p(f(x))+p(f(y))$
  197. Extremos locales de una integral biparamétrica
  198. Continuidad uniforme y teorema de Tychonoff
  199. Integral doble como producto de simples
  200. Integral en el cubo unidad
  201. Integral de superficie de una función homogénea
  202. Integral doble impropia por un cambio ortogonal
  203. Integral doble impropia con parámetros
  204. Teoremas de Stokes y Gauss: comprobación
  205. Flujo y circulación de un campo
  206. Centro de gravedad de una esfera
  207. Móviles sobre dos circunferencias
  208. Circulación de un campo y producto mixto
  209. Potencial de un campo con función homogénea
  210. Un campo gradiente
  211. Desarrollo de Taylor de orden $n$ de $f(x,y)=\log (x+y)$
  212. Extremos de $f:\left(\mathbb{R}^+\right)^3\to \mathbb{R},$ $f(x,y,z)=x^my^nz^p$ sobre un plano
  213. Integral triple $\iiint_Tx^my^nz^p(1-x-y-z)^qdxdydz$
  214. Máximo de $ f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n{\log(1+x_i)}$ con $\sum_{i=1}^nx_i=a$
  215. Distancia de un plano y de una curva al origen
  216. Espacios normados
  217. Norrma, espacio normado
  218. Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski
  219. Normas $p$
  220. Distancia inducida por la norma
  221. La distancia es uniformemente continua
  222. Series en espacios normados
  223. Normas equivalentes
  224. Normas no equivalentes
  225. Propiedades topológicas en los espacios normados
  226. Aplicaciones lineales continuas entre espacios normados
  227. Una aplicación lineal discontinua
  228. Espacios normados de dimensión finita
  229. Teorema de Riesz
  230. Todo espacio normado de dimensión finita es de Banach
  231. Todo subespacio de dimensión finita es cerrado
  232. Un subespacio no cerrado de un espacio de Banach
  233. Norma de una aplicación lineal y continua
  234. Diferenciabilidad entre espacios de Banach
  235. Criterio de Dirichlet para la convergencia de series
  236. Criterio de Abel para la convergencia de series
  237. Espacio de funciones completo y no compacto
  238. Espacio de Banach de las funciones continuas con la norma del supremo
  239. Espacio de Banach $l^1(\mathbb{N})$
  240. Suma $\sum_{k=0}^\infty{(I-A)^k}$ en un espacio de matrices
  241. Espacios $l_p$
  242. Normas de matrices y perturbación de sistemas
  243. Espacios de Hilbert
  244. Ley del paralelogramo en espacios prehilbertianos
  245. Identidad de polarización
  246. Desigualdad de Schwarz y norma en los espacios prehilbertianos
  247. Espacio prehilbertiano de las sucesiones finitamente no nulas
  248. Espacio prehilbertiano de las funciones continuas
  249. El espacio $l^2$ es de Hilbert
  250. Funciones uniformemente continuas en espacios prehilbertianos
  251. Vector de norma mínima en un subconjunto de un espacio de Hilbert
  252. Ortogonalidad en espacios prehilbertianos
  253. Proyecciones ortogonales en espacios de Hilbert
  254. Teorema de representación de Riesz-Fréchet
  255. Análisis complejo
  256. Proyección estereográfica
  257. Derivada compleja
  258. Ecuaciones de Cauchy-Riemann
  259. Función exponencial compleja
  260. Funciones trigonométricas complejas
  261. Funciones hiperbólicas complejas
  262. Logaritmo complejo
  263. Funciones armónicas
  264. Función armónica conjugada
  265. Familia de funciones armónicas
  266. Polinomio de Hurwitz
  267. Funciones holomorfas f: Re (f) + Im (f) =1
  268. Principio del módulo máximo
  269. Lema de Schwarz
  270. Fórmulas integrales de Cauchy
  271. Demostración del teorema de Liouville (vídeo)
  272. Integral $\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos \theta+c\sin\theta}$
  273. Integral de $\log^3 z dz/z$ en un arco de circunferencia
  274. Singularidades y residuos de $f(z)=\frac{\sin z}{z^3+z^2-z-1}$
  275. Singularidades y residuos de $f(z)=\frac{e^{1/z}}{z-1}$
  276. Singularidad y residuo en el origen de $f(z)=\frac{1}{2+z^2-2\cosh z}$
  277. Integral $ \int_{T}\bar{z}^2\;dz$ sobre una curva de Jordan
  278. Integral $ \int_{0}^{+\infty}(\cos x/\cosh x)\;dx $ por residuos
  279. Función holomorfa biperiódica
  280. Una integral con residuo en el punto del infinito
  281. Ceros de las funciones analíticas
  282. Series complejas: conceptos básicos
  283. Series complejas: criterios de la raíz y del cociente
  284. Series complejas enteras, radio de convergencia
  285. Fórmula de Cauchy-Hadamard
  286. Teorema de Pitagoras trigonométrico por series de potencias
  287. Ecuación funcional compleja
  288. Desarrollo en serie de Laurent
  289. Serie de Laurent con parámetros
  290. Recurrente compleja por serie de potencias
  291. Suma de series por residuos
  292. Familia de racionales complejas
  293. Teorema de Rouche
  294. Función holomorfa: representación integral
  295. Integral $ \int_0^{+\infty}x\;dx/((1+x)^n-(1-x)^n)$ por residuos
  296. Una aplicación de las desigualdades de Cauchy
  297. Un problema de Dirichlet
  298. Integrales de Fresnel
  299. Límite de promedios en un polígono regular
  300. Fórmula integral de Cauchy y matriz exponencial
  301. Polinomio de Lagrange-Sylvester, representación integral
  302. Transformado de un polinomio complejo
  303. Área de una imagen del círculo unidad
  304. Relación entre dos integrales por residuos
  305. Una integral trigonométrica en [$0, \pi ]$
  306. Integral $\int_0^{2\pi}\frac{\cos 3t}{1-2a\cos t+a^2}\;dt $
  307. Función entera y polinomio
  308. Integral $ \int_0^{+\infty}x^n\;dx/(x^{2n+1}+1) $
  309. Integral $\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$ por residuos
  310. Teorema de Casorati-Weierstrass: singularidades de $1/f$
  311. Función entera que es polinómica
  312. Derivabilidad de una función compleja como suma de dos series
  313. Existencia de ceros en el disco unidad
  314. Funciones holomorfas en un disco