Análisis real y complejo

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Análisis real y complejo. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Método de inducción
  1. Descripción del método de inducción
  2. Derivada enésima de la función seno
  3. Desigualdad de Bernoulli
  4. Binomio de Newton
  5. Regiones determinadas por $n$ rectas del plano
  6. Sucesiones reales
  7. Concepto de sucesión
  8. Límite de una sucesión
  9. Propiedades de los límites
  10. Subsucesiones
  11. Sucesiones monótonas
  12. Límites infinitos
  13. Criterios de Stolz y de las medias aritmética y geométrica
  14. Sucesiones de números reales: problemas diversos
  15. Familia de sucesiones recurrentes
  16. Sucesión recurrente con límite raíz de a
  17. Relación de Fibonacci $f_{2n+1}=f_n^2+f_{n+1}^2$
  18. Continuidad
  19. Concepto de continuidad. Primeras propiedades
  20. Continuidad de las funciones elementales
  21. Continuidad de las funciones no elementales
  22. Continuidad en intervalos
  23. Continuidad uniforme en espacios métricos por sucesiones
  24. Continuidad uniforme
  25. Caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones
  26. Teorema de Heine
  27. Continuidad en una variable: problemas diversos
  28. Funciones f-continuas
  29. Funciones monótonas, crecientes y decrecientes
  30. Caracterización de límites de funciones en espacios métricos por sucesiones
  31. Derivadas
  32. Concepto de derivada
  33. Álgebra de derivadas
  34. Derivación de funciones algebraicas
  35. Derivación de funciones trigonométricas y circulares inversas
  36. Derivación de funciones exponenciales y logarítmicas
  37. Derivación de funciones hiperbólicas
  38. Derivación de funciones hiperbólicas inversas
  39. Derivación de funciones compuestas, regla de la cadena
  40. Derivadas: compendio de reglas y fórmulas
  41. Teorema de la función inversa
  42. Derivada de $ (g\circ f^{-1})'(6)$
  43. Derivada logarítmica
  44. Derivadas de órdenes superiores
  45. Fórmula de Leibniz de la derivada enésima
  46. Aplicaciones geométricas de la derivada
  47. Aplicaciones físicas de la derivada
  48. Derivadas infinitas y laterales
  49. Derivación de funciones implícitas
  50. Diferencial de una función
  51. Derivabilidad según parámetros
  52. Familia de funciones de clase 1
  53. Desigualdad y número de raíces
  54. Derivada simétrica
  55. Derivabilidad absoluta
  56. Ecuación diferencial y fórmula de Leibniz
  57. Funciones cumpliendo $f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|$
  58. Funciones cumpliendo $ f'(\lambda x) = f'(x)\sin x + f(x)\cos x$
  59. Puntos de inflexión de una familia de curvas
  60. Desigualdad con logaritmos
  61. Teoremas del valor medio
  62. Teorema de Rolle
  63. Teorema de Lagrange
  64. Teorema del valor medio de Cauchy
  65. Una aplicación del teorema de Rolle
  66. Diámetro de un subconjunto de R
  67. Límite de las raíces de $ p_n(x)=x^{n+2}-2x+1 $
  68. Recíproco del teorema del valor medio
  69. Fórmula de Taylor
  70. Polinomio de Taylor
  71. Fórmula de Taylor
  72. Aproximación de funciones por polinomios
  73. La notación o minúscula de Landau
  74. Fórmula de Taylor con o minúscula
  75. Una aplicación de la fórmula de Taylor
  76. Una aproximación racional de la raíz de 5
  77. Regla de L’Hôpital
  78. Límites de funciones por la definición
  79. Concepto de indeterminación
  80. Regla de L’Hôpital para 0/0
  81. Distintas formas indeterminadas
  82. Regla de L’Hôpital: problemas diversos
  83. $\lim_{x\to 0}x\lfloor 1/x\rfloor=0$ (vídeo)
  84. $L=\lim_{x \to{}0}{\frac{x^2 e^x}{5x-5e^x+5}}$ sin usar la regla de L’Hôpital
  85. Límite $L=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3} $ por tres métodos
  86. Integrales indefinidas
  87. Integral de la función potencial
  88. Integrales inmediatas
  89. Integrales por sustitución o cambio de variable
  90. Integración por partes
  91. Integración de funciones racionales (1)
  92. Integración de funciones racionales (2)
  93. Integración de funciones racionales (3)
  94. Integración de funciones racionales, método de Hermite (4)
  95. Integración de funciones irracionales (1)
  96. Integración de funciones irracionales (2)
  97. Integración de funciones irracionales (3)
  98. Integración de funciones irracionales (4)
  99. Integración de diferenciales binomias
  100. Integración de funciones trigonométricas (1)
  101. Integración de funciones trigonométricas (2)
  102. Integración de funciones trigonométricas (3)
  103. Integración de funciones trigonométricas (4)
  104. Integración de funciones hiperbólicas
  105. Integrales indefinidas: problemas diversos
  106. Integrales definidas
  107. Integral definida como límite de sumas
  108. Cálculo de límites de sucesiones mediante integrales
  109. Teorema fundamental del Cálculo
  110. Regla de Barrow
  111. Propiedades de la integral definida
  112. Cotas de la longitud de una elipse.
  113. Pi es irracional
  114. Fórmula de Wallis
  115. Concepto de integral impropia en intervalos infinitos
  116. Criterios de convergencia de integrales impropias en intervalos infinitos
  117. Criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos
  118. Convergencia de las integrales de Fresnel
  119. Convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos
  120. Valor principal de Cauchy de una integral impropia
  121. Integrales impropias en intervalos finitos
  122. Derivación de integrales dependientes de un parámetro
  123. Función Gamma de Euler
  124. Integral mediante las Gamma y Beta de Euler
  125. Convolución de dos campanas de Gauss
  126. Integral de Euler-Poisson
  127. Una integral por derivación paramétrica (1)
  128. Una integral por derivación paramétrica (2)
  129. Integral de Gauss o de probabilidades
  130. Derivación paramétrica y límite
  131. Cálculo de $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$
  132. Número combinatorio $\binom{2n}{n}$ e integral
  133. Igualdad integral $\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin t}{t\log^2 t}dt=\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\cos t}{\log t}dt$
  134. La función de Thomae es integrable Riemann en [0,1]
  135. Desigualdad de Jensen
  136. Límite de la suma finita $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{bk}{n}}}{n}$
  137. Tres integrales a partir de la de Dirichlet
  138. Fórmula de Stirling: demostración
  139. Series numéricas y funcionales
  140. Concepto de serie numérica real
  141. Convergencia y divergencia de series numéricas
  142. Esquemas de asociación de series
  143. Serie geométrica
  144. Álgebra de series
  145. Series de términos positivos
  146. Series absolutamente convergentes
  147. Criterios de la raíz, cociente y Raabe
  148. Criterio integral
  149. Convergencia de las series de Riemann
  150. Series alternadas, criterio de Leibniz
  151. Series telescópicas
  152. Series hipergeométricas
  153. Series aritmético-geométricas
  154. Series con factoriales en el denominador
  155. Suma de series numéricas por desarrollos en serie de funciones
  156. Series de Bertrand
  157. El número e es irracional
  158. Suma de una serie a partir de la de Basilea
  159. Producto de Cauchy de series, contraejemplo
  160. Límite puntual
  161. Convergencia uniforme de sucesiones de funciones
  162. Polinomios de Bernstein
  163. Teorema de Dini
  164. Series uniformemente convergentes. Criterio de Weierstrass
  165. Series enteras o de potencias, radio de convergencia
  166. Derivación e integración de series enteras
  167. Suma de series enteras por derivación o integración
  168. Serie de Maclaurin
  169. Desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales
  170. Función suave pero no analítica
  171. Convergencia uniforme en un intervalo no acotado
  172. Sucesión de Fibonacci
  173. Función exponencial real
  174. Sucesión funcional con límite Gamma (x)
  175. Producto de Cauchy de series igual a la unidad
  176. Suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}$
  177. Convergencia de una serie según parámetro
  178. Números armónicos y constante de Euler-Mascheroni
  179. Teorema de reordenación de Riemann
  180. Serie de los inversos de los números primos
  181. Análisis multivariable
  182. Límites reiterados, contraejemplo
  183. Continuidad y derivadas direccionales
  184. Diferenciabilidad en varias variables
  185. Teorema del valor medio escalar
  186. Una derivada direccional máxima
  187. Diferencial de una composición
  188. Puntos de discontinuidad, compacidad
  189. Funciones homogéneas, teorema de Euler
  190. Teorema de la función inversa en $\mathbb{R}^n$
  191. Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$
  192. Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m$
  193. Puntos críticos, cados dudosos
  194. Puntos críticos de $ f(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}(xy)^k $
  195. Máximos y mínimos condicionados. Multiplicadores de Lagrange
  196. Paralelepípedo inscrito en un elipsoide
  197. Extremos absolutos sobre compactos
  198. Puntos críticos de $g(x,y)=p(f(x))+p(f(y))$
  199. Extremos locales de una integral biparamétrica
  200. Continuidad uniforme y teorema de Tychonoff
  201. Integral doble como producto de simples
  202. Integral en el cubo unidad
  203. Integral de superficie de una función homogénea
  204. Integral doble impropia por un cambio ortogonal
  205. Integral doble impropia con parámetros
  206. Teoremas de Stokes y Gauss: comprobación
  207. Flujo y circulación de un campo
  208. Centro de gravedad de una esfera
  209. Móviles sobre dos circunferencias
  210. Circulación de un campo y producto mixto
  211. Potencial de un campo con función homogénea
  212. Un campo gradiente
  213. Desarrollo de Taylor de orden $n$ de $f(x,y)=\log (x+y)$
  214. Extremos de $f:\left(\mathbb{R}^+\right)^3\to \mathbb{R},$ $f(x,y,z)=x^my^nz^p$ sobre un plano
  215. Integral triple $\iiint_Tx^my^nz^p(1-x-y-z)^qdxdydz$
  216. Máximo de $ f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n{\log(1+x_i)}$ con $\sum_{i=1}^nx_i=a$
  217. Distancia de un plano y de una curva al origen
  218. Puntos críticos con caso dudoso
  219. Espacios normados
  220. Norrma, espacio normado
  221. Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski
  222. Normas $p$
  223. Distancia inducida por la norma
  224. La distancia es uniformemente continua
  225. Series en espacios normados
  226. Normas equivalentes
  227. Normas no equivalentes
  228. Propiedades topológicas en los espacios normados
  229. Aplicaciones lineales continuas entre espacios normados
  230. Una aplicación lineal discontinua
  231. Espacios normados de dimensión finita
  232. Teorema de Riesz
  233. Todo espacio normado de dimensión finita es de Banach
  234. Todo subespacio de dimensión finita es cerrado
  235. Un subespacio no cerrado de un espacio de Banach
  236. Norma de una aplicación lineal y continua
  237. Diferenciabilidad entre espacios de Banach
  238. Criterio de Dirichlet para la convergencia de series
  239. Criterio de Abel para la convergencia de series
  240. Espacio de funciones completo y no compacto
  241. Espacio de Banach de las funciones continuas con la norma del supremo
  242. Espacio de Banach $l^1(\mathbb{N})$
  243. Suma $\sum_{k=0}^\infty{(I-A)^k}$ en un espacio de matrices
  244. Espacios $l_p$
  245. Normas de matrices y perturbación de sistemas
  246. Espacios de Hilbert
  247. Ley del paralelogramo en espacios prehilbertianos
  248. Identidad de polarización
  249. Desigualdad de Schwarz y norma en los espacios prehilbertianos
  250. Espacio prehilbertiano de las sucesiones finitamente no nulas
  251. Espacio prehilbertiano de las funciones continuas
  252. El espacio $l^2$ es de Hilbert
  253. Funciones uniformemente continuas en espacios prehilbertianos
  254. Vector de norma mínima en un subconjunto de un espacio de Hilbert
  255. Ortogonalidad en espacios prehilbertianos
  256. Proyecciones ortogonales en espacios de Hilbert
  257. Teorema de representación de Riesz-Fréchet
  258. Teorema de Jordan-Von Neumann
  259. Teorema de Pitágoras en espacios prehilbertianos
  260. Desigualdad de Bessel
  261. Serie de Fourier asociada a un sistema ortonormal
  262. Análisis complejo
  263. Proyección estereográfica
  264. Inversa de la transformación de Möbius
  265. Grupo de las transformaciones de Möbius
  266. Isomorfismo entre el grupo de Möbius y $\text{GL}_2(\mathbb{C})/Z$
  267. Transformaciones de Möbius elementales
  268. Determinación de una transformación de Möbius
  269. Derivada compleja
  270. Ecuaciones de Cauchy-Riemann
  271. Función exponencial compleja
  272. Funciones trigonométricas complejas
  273. Módulo del seno complejo y del coseno complejo
  274. Funciones hiperbólicas complejas
  275. Logaritmo complejo
  276. Funciones armónicas
  277. Función armónica conjugada
  278. Familia de funciones armónicas
  279. Polinomio de Hurwitz
  280. Funciones holomorfas f: Re (f) + Im (f) =1
  281. Principio del módulo máximo
  282. Lema de Schwarz
  283. Fórmulas integrales de Cauchy
  284. Demostración del teorema de Liouville (vídeo)
  285. Teorema fundamental del Álgebra
  286. Integral $\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos \theta+c\sin\theta}$
  287. Integral de $\log^3 z dz/z$ en un arco de circunferencia
  288. Singularidades y residuos de $f(z)=\frac{\sin z}{z^3+z^2-z-1}$
  289. Singularidades y residuos de $f(z)=\frac{e^{1/z}}{z-1}$
  290. Singularidad y residuo en el origen de $f(z)=\frac{1}{2+z^2-2\cosh z}$
  291. Integral $ \int_{T}\bar{z}^2\;dz$ sobre una curva de Jordan
  292. Integral $ \int_{0}^{+\infty}(\cos x/\cosh x)\;dx $ por residuos
  293. Función holomorfa biperiódica
  294. Una integral con residuo en el punto del infinito
  295. Ceros de las funciones analíticas
  296. Principio del argumento
  297. Series complejas: conceptos básicos
  298. Series complejas: criterios de la raíz y del cociente
  299. Series complejas enteras, radio de convergencia
  300. Fórmula de Cauchy-Hadamard
  301. Teorema de Pitagoras trigonométrico por series de potencias
  302. Ecuación funcional compleja
  303. Desarrollo en serie de Laurent
  304. Serie de Laurent con parámetros
  305. Recurrente compleja por serie de potencias
  306. Suma de series por residuos
  307. Familia de racionales complejas
  308. Teorema de Rouche
  309. Función holomorfa: representación integral
  310. Integral $ \int_0^{+\infty}x\;dx/((1+x)^n-(1-x)^n)$ por residuos
  311. Una aplicación de las desigualdades de Cauchy
  312. Un problema de Dirichlet
  313. Integrales de Fresnel
  314. Límite de promedios en un polígono regular
  315. Fórmula integral de Cauchy y matriz exponencial
  316. Polinomio de Lagrange-Sylvester, representación integral
  317. Transformado de un polinomio complejo
  318. Área de una imagen del círculo unidad
  319. Relación entre dos integrales por residuos
  320. Una integral trigonométrica en [$0, \pi ]$
  321. Integral $\int_0^{2\pi}\frac{\cos 3t}{1-2a\cos t+a^2}\;dt $
  322. Función entera y polinomio
  323. Integral $ \int_0^{+\infty}x^n\;dx/(x^{2n+1}+1) $
  324. Integral $\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$ por residuos
  325. Teorema de Casorati-Weierstrass: singularidades de $1/f$
  326. Función entera que es polinómica
  327. Derivabilidad de una función compleja como suma de dos series
  328. Existencia de ceros en el disco unidad
  329. Funciones holomorfas en un disco
  330. Integral compleja dependiente de dos parámetros
  331. Máximo y mínimo absolutos del módulo de una función compleja
  332. Serie de Taylor por división en potencias crecientes
  333. Ceros complejos de las funciones seno y coseno
  334. Parte principal de la serie de Laurent de $1/\sin^2z$ en $\pi < |z| < 2\pi$
  335. Función zeta de Riemann