Análisis real y complejo

Proporcionamos una colección de problemas resueltos de Análisis real y complejo. Se irán añadiendo otros sucesivamente.

    Método de inducción
  1. Descripción del método de inducción
  2. Derivada enésima de la función seno
  3. Desigualdad de Bernoulli
  4. Binomio de Newton
  5. Regiones determinadas por $n$ rectas del plano
  6. Sucesiones reales
  7. Concepto de sucesión
  8. Límite de una sucesión
  9. Propiedades de los límites
  10. Subsucesiones
  11. Sucesiones monótonas
  12. Límites infinitos
  13. Criterios de Stolz y de las medias aritmética y geométrica
  14. Sucesiones de números reales: problemas diversos
  15. Familia de sucesiones recurrentes
  16. Sucesión recurrente con límite raíz de a
  17. Relación de Fibonacci $f_{2n+1}=f_n^2+f_{n+1}^2$
  18. Continuidad
  19. Concepto de continuidad. Primeras propiedades
  20. Continuidad de las funciones elementales
  21. Continuidad de las funciones no elementales
  22. Continuidad en intervalos
  23. Continuidad uniforme en espacios métricos por sucesiones
  24. Continuidad uniforme
  25. Caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones
  26. Teorema de Heine
  27. Continuidad en una variable: problemas diversos
  28. Funciones f-continuas
  29. Funciones monótonas, crecientes y decrecientes
  30. Caracterización de límites de funciones en espacios métricos por sucesiones
  31. Derivadas
  32. Concepto de derivada
  33. Álgebra de derivadas
  34. Derivación de funciones algebraicas
  35. Derivación de funciones trigonométricas y circulares inversas
  36. Derivación de funciones exponenciales y logarítmicas
  37. Derivación de funciones hiperbólicas
  38. Derivación de funciones hiperbólicas inversas
  39. Derivación de funciones compuestas, regla de la cadena
  40. Derivadas: compendio de reglas y fórmulas
  41. Teorema de la función inversa
  42. Derivada de $ (g\circ f^{-1})'(6)$
  43. Derivada logarítmica
  44. Derivadas de órdenes superiores
  45. Fórmula de Leibniz de la derivada enésima
  46. Aplicaciones geométricas de la derivada
  47. Aplicaciones físicas de la derivada
  48. Derivadas infinitas y laterales
  49. Derivación de funciones implícitas
  50. Diferencial de una función
  51. Derivabilidad según parámetros
  52. Familia de funciones de clase 1
  53. Desigualdad y número de raíces
  54. Derivada simétrica
  55. Derivabilidad absoluta
  56. Ecuación diferencial y fórmula de Leibniz
  57. Funciones cumpliendo $f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|$
  58. Funciones cumpliendo $ f'(\lambda x) = f'(x)\sin x + f(x)\cos x$
  59. Puntos de inflexión de una familia de curvas
  60. Puntos de inflexión que yacen en una curva
  61. Desigualdad con logaritmos
  62. Teoremas del valor medio
  63. Teorema de Rolle
  64. Teorema de Lagrange
  65. Teorema del valor medio de Cauchy
  66. Una aplicación del teorema de Rolle
  67. Diámetro de un subconjunto de R
  68. Límite de las raíces de $ p_n(x)=x^{n+2}-2x+1 $
  69. Recíproco del teorema del valor medio
  70. Fórmula de Taylor
  71. Polinomio de Taylor
  72. Fórmula de Taylor
  73. Aproximación de funciones por polinomios
  74. La notación o minúscula de Landau
  75. Fórmula de Taylor con o minúscula
  76. Una aplicación de la fórmula de Taylor
  77. Una aproximación racional de la raíz de 5
  78. Regla de L’Hôpital
  79. Límites de funciones por la definición
  80. Concepto de indeterminación
  81. Regla de L’Hôpital para 0/0
  82. Distintas formas indeterminadas
  83. Regla de L’Hôpital: problemas diversos
  84. $\lim_{x\to 0}x\lfloor 1/x\rfloor=0$ (vídeo)
  85. $L=\lim_{x \to{}0}{\frac{x^2 e^x}{5x-5e^x+5}}$ sin usar la regla de L’Hôpital
  86. Límite $L=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3} $ por tres métodos
  87. Integrales indefinidas
  88. Integral de la función potencial
  89. Integrales inmediatas
  90. Integrales por sustitución o cambio de variable
  91. Integración por partes
  92. Integración de funciones racionales (1)
  93. Integración de funciones racionales (2)
  94. Integración de funciones racionales (3)
  95. Integración de funciones racionales, método de Hermite (4)
  96. Integración de funciones irracionales (1)
  97. Integración de funciones irracionales (2)
  98. Integración de funciones irracionales (3)
  99. Integración de funciones irracionales (4)
  100. Integración de diferenciales binomias
  101. Integración de funciones trigonométricas (1)
  102. Integración de funciones trigonométricas (2)
  103. Integración de funciones trigonométricas (3)
  104. Integración de funciones trigonométricas (4)
  105. Integración de funciones hiperbólicas
  106. Integrales indefinidas: problemas diversos
  107. Integrales definidas
  108. Integral definida como límite de sumas
  109. Cálculo de límites de sucesiones mediante integrales
  110. Teorema fundamental del Cálculo
  111. Regla de Barrow
  112. Propiedades de la integral definida
  113. Cotas de la longitud de una elipse.
  114. Pi es irracional
  115. Fórmula de Wallis
  116. Concepto de integral impropia en intervalos infinitos
  117. Criterios de convergencia de integrales impropias en intervalos infinitos
  118. Criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos
  119. Convergencia de las integrales de Fresnel
  120. Convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos
  121. Valor principal de Cauchy de una integral impropia
  122. Integrales impropias en intervalos finitos
  123. Derivación de integrales dependientes de un parámetro
  124. Función Gamma de Euler
  125. Integral mediante las Gamma y Beta de Euler
  126. Convolución de dos campanas de Gauss
  127. Integral de Euler-Poisson
  128. Una integral por derivación paramétrica (1)
  129. Una integral por derivación paramétrica (2)
  130. Integral de Gauss o de probabilidades
  131. Derivación paramétrica y límite
  132. Cálculo de $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$
  133. Número combinatorio $\binom{2n}{n}$ e integral
  134. Igualdad integral $\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin t}{t\log^2 t}dt=\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\cos t}{\log t}dt$
  135. La función de Thomae es integrable Riemann en [0,1]
  136. Desigualdad de Jensen
  137. Límite de la suma finita $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{bk}{n}}}{n}$
  138. Tres integrales a partir de la de Dirichlet
  139. Fórmula de Stirling: demostración
  140. Series numéricas y funcionales
  141. Concepto de serie numérica real
  142. Convergencia y divergencia de series numéricas
  143. Esquemas de asociación de series
  144. Serie geométrica
  145. Álgebra de series
  146. Series de términos positivos
  147. Series absolutamente convergentes
  148. Criterios de la raíz, cociente y Raabe
  149. Criterio integral
  150. Convergencia de las series de Riemann
  151. Series alternadas, criterio de Leibniz
  152. Series telescópicas
  153. Series hipergeométricas
  154. Series aritmético-geométricas
  155. Series con factoriales en el denominador
  156. Suma de series numéricas por desarrollos en serie de funciones
  157. Series de Bertrand
  158. El número e es irracional
  159. Suma de una serie a partir de la de Basilea
  160. Producto de Cauchy de series, contraejemplo
  161. Límite puntual
  162. Convergencia uniforme de sucesiones de funciones
  163. Polinomios de Bernstein
  164. Teorema de Dini
  165. Series uniformemente convergentes. Criterio de Weierstrass
  166. Series enteras o de potencias, radio de convergencia
  167. Derivación e integración de series enteras
  168. Suma de series enteras por derivación o integración
  169. Serie de Maclaurin
  170. Desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales
  171. Función suave pero no analítica
  172. Convergencia uniforme en un intervalo no acotado
  173. Sucesión de Fibonacci
  174. Función exponencial real
  175. Sucesión funcional con límite Gamma (x)
  176. Producto de Cauchy de series igual a la unidad
  177. Suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}$
  178. Convergencia de una serie según parámetro
  179. Números armónicos y constante de Euler-Mascheroni
  180. Teorema de reordenación de Riemann
  181. Serie de los inversos de los números primos
  182. Análisis multivariable
  183. Límites reiterados, contraejemplo
  184. Continuidad y derivadas direccionales
  185. Diferenciabilidad en varias variables
  186. Teorema del valor medio escalar
  187. Una derivada direccional máxima
  188. Diferencial de una composición
  189. Puntos de discontinuidad, compacidad
  190. Funciones homogéneas, teorema de Euler
  191. Teorema de la función inversa en $\mathbb{R}^n$
  192. Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$
  193. Teorema de la función implícita en $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m$
  194. Puntos críticos, cados dudosos
  195. Puntos críticos de $ f(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}(xy)^k $
  196. Máximos y mínimos condicionados. Multiplicadores de Lagrange
  197. Paralelepípedo inscrito en un elipsoide
  198. Extremos de $f(x,y)=x^3+y^3$ sobre una elipse
  199. Extremos absolutos sobre compactos
  200. Puntos críticos de $g(x,y)=p(f(x))+p(f(y))$
  201. Extremos locales de una integral biparamétrica
  202. Continuidad uniforme y teorema de Tychonoff
  203. Integral doble como producto de simples
  204. Integral en el cubo unidad
  205. Integral de superficie de una función homogénea
  206. Integral doble impropia por un cambio ortogonal
  207. Integral doble impropia con parámetros
  208. Teoremas de Stokes y Gauss: comprobación
  209. Flujo y circulación de un campo
  210. Centro de gravedad de una esfera
  211. Móviles sobre dos circunferencias
  212. Circulación de un campo y producto mixto
  213. Potencial de un campo con función homogénea
  214. Un campo gradiente
  215. Desarrollo de Taylor de orden $n$ de $f(x,y)=\log (x+y)$
  216. Extremos de $f:\left(\mathbb{R}^+\right)^3\to \mathbb{R},$ $f(x,y,z)=x^my^nz^p$ sobre un plano
  217. Integral triple $\iiint_Tx^my^nz^p(1-x-y-z)^qdxdydz$
  218. Máximo de $ f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n{\log(1+x_i)}$ con $\sum_{i=1}^nx_i=a$
  219. Distancia de un plano y de una curva al origen
  220. Puntos críticos con caso dudoso
  221. Espacios normados
  222. Norrma, espacio normado
  223. Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski
  224. Normas $p$
  225. Distancia inducida por la norma
  226. La distancia es uniformemente continua
  227. Series en espacios normados
  228. Normas equivalentes
  229. Normas no equivalentes
  230. Propiedades topológicas en los espacios normados
  231. Aplicaciones lineales continuas entre espacios normados
  232. Una aplicación lineal discontinua
  233. Espacios normados de dimensión finita
  234. Teorema de Riesz
  235. Todo espacio normado de dimensión finita es de Banach
  236. Todo subespacio de dimensión finita es cerrado
  237. Un subespacio no cerrado de un espacio de Banach
  238. Norma de una aplicación lineal y continua
  239. Diferenciabilidad entre espacios de Banach
  240. Criterio de Dirichlet para la convergencia de series
  241. Criterio de Abel para la convergencia de series
  242. Espacio de funciones completo y no compacto
  243. Espacio de Banach de las funciones continuas con la norma del supremo
  244. Espacio de Banach $l^1(\mathbb{N})$
  245. Suma $\sum_{k=0}^\infty{(I-A)^k}$ en un espacio de matrices
  246. Espacios $l_p$
  247. Normas de matrices y perturbación de sistemas
  248. Espacios de Hilbert
  249. Ley del paralelogramo en espacios prehilbertianos
  250. Identidad de polarización
  251. Desigualdad de Schwarz y norma en los espacios prehilbertianos
  252. Espacio prehilbertiano de las sucesiones finitamente no nulas
  253. Espacio prehilbertiano de las funciones continuas
  254. El espacio $l^2$ es de Hilbert
  255. Funciones uniformemente continuas en espacios prehilbertianos
  256. Vector de norma mínima en un subconjunto de un espacio de Hilbert
  257. Ortogonalidad en espacios prehilbertianos
  258. Proyecciones ortogonales en espacios de Hilbert
  259. Teorema de representación de Riesz-Fréchet
  260. Teorema de Jordan-Von Neumann
  261. Teorema de Pitágoras en espacios prehilbertianos
  262. Desigualdad de Bessel
  263. Serie de Fourier asociada a un sistema ortonormal
  264. Análisis complejo
  265. Proyección estereográfica
  266. Inversa de la transformación de Möbius
  267. Grupo de las transformaciones de Möbius
  268. Isomorfismo entre el grupo de Möbius y $\text{GL}_2(\mathbb{C})/Z$
  269. Transformaciones de Möbius elementales
  270. Determinación de una transformación de Möbius
  271. Derivada compleja
  272. Ecuaciones de Cauchy-Riemann
  273. Función exponencial compleja
  274. Funciones trigonométricas complejas
  275. Módulo del seno complejo y del coseno complejo
  276. Funciones hiperbólicas complejas
  277. Logaritmo complejo
  278. Funciones armónicas
  279. Función armónica conjugada
  280. Familia de funciones armónicas
  281. Polinomio de Hurwitz
  282. Funciones holomorfas f: Re (f) + Im (f) =1
  283. Principio del módulo máximo
  284. Lema de Schwarz
  285. Fórmulas integrales de Cauchy
  286. Demostración del teorema de Liouville (vídeo)
  287. Teorema fundamental del Álgebra
  288. Integral $\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos \theta+c\sin\theta}$
  289. Integral de $\log^3 z dz/z$ en un arco de circunferencia
  290. Singularidades y residuos de $f(z)=\frac{\sin z}{z^3+z^2-z-1}$
  291. Singularidades y residuos de $f(z)=\frac{e^{1/z}}{z-1}$
  292. Singularidad y residuo en el origen de $f(z)=\frac{1}{2+z^2-2\cosh z}$
  293. Integral $ \int_{T}\bar{z}^2\;dz$ sobre una curva de Jordan
  294. Integral $ \int_{0}^{+\infty}(\cos x/\cosh x)\;dx $ por residuos
  295. Función holomorfa biperiódica
  296. Una integral con residuo en el punto del infinito
  297. Ceros de las funciones analíticas
  298. Principio del argumento
  299. Series complejas: conceptos básicos
  300. Series complejas: criterios de la raíz y del cociente
  301. Series complejas enteras, radio de convergencia
  302. Fórmula de Cauchy-Hadamard
  303. Teorema de Pitagoras trigonométrico por series de potencias
  304. Ecuación funcional compleja
  305. Desarrollo en serie de Laurent
  306. Serie de Laurent con parámetros
  307. Recurrente compleja por serie de potencias
  308. Suma de series por residuos
  309. Familia de racionales complejas
  310. Teorema de Rouche
  311. Función holomorfa: representación integral
  312. Integral $ \int_0^{+\infty}x\;dx/((1+x)^n-(1-x)^n)$ por residuos
  313. Una aplicación de las desigualdades de Cauchy
  314. Un problema de Dirichlet
  315. Integrales de Fresnel
  316. Límite de promedios en un polígono regular
  317. Fórmula integral de Cauchy y matriz exponencial
  318. Polinomio de Lagrange-Sylvester, representación integral
  319. Transformado de un polinomio complejo
  320. Área de una imagen del círculo unidad
  321. Relación entre dos integrales por residuos
  322. Una integral trigonométrica en [$0, \pi ]$
  323. Integral $\int_0^{2\pi}\frac{\cos 3t}{1-2a\cos t+a^2}\;dt $
  324. Función entera y polinomio
  325. Integral $ \int_0^{+\infty}x^n\;dx/(x^{2n+1}+1) $
  326. Integral $\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$ por residuos
  327. Teorema de Casorati-Weierstrass: singularidades de $1/f$
  328. Función entera que es polinómica
  329. Derivabilidad de una función compleja como suma de dos series
  330. Existencia de ceros en el disco unidad
  331. Funciones holomorfas en un disco
  332. Integral compleja dependiente de dos parámetros
  333. Máximo y mínimo absolutos del módulo de una función compleja
  334. Serie de Taylor por división en potencias crecientes
  335. Ceros complejos de las funciones seno y coseno
  336. Parte principal de la serie de Laurent de $1/\sin^2z$ en $\pi < |z| < 2\pi$
  337. Función zeta de Riemann