Archivo del Autor: Fernando Revilla

Plano osculador y curva plana

RESUMEN. Demostramos que una curva es plana usando el concepto de plano osculador. Nota. Este problema ya se resolvió en Una curva plana sin usar el concepto de plano osculador. Enunciado Demostrar que la curva de ecuaciones paramétricas $$x=t,\;y=\dfrac{t^2+t+2}{t},\;z=\dfrac{-t^2-t+3}{t}\quad (t>0)$$ … Sigue leyendo

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Factorización canónica de una aplicación

RESUMEN. Construimos la factorización canónica de una aplicación. Enunciado Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vacíos y $f:A\to B$ una aplicación. (1) Demostrar que la relación en $A$: $$xR y\Leftrightarrow f(x)=f(y)$$ es de equivalencia. Determinar el conjunto cociente $A/R$. … Sigue leyendo

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Teorema fundamental del Álgebra

RESUMEN. Demostramos el teorema fundamental del Álgebra. Teorema fundamental del Álgebra (1) Todo polinomio $p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots a_1z+ a_0\in\mathbb{C}[z]$ con $n \ge 1$ y $a_n\ne 0$ tiene al menos una raíz compleja. (2) Corolario. Todo polinomio $p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots a_1z+ a_0\in\mathbb{C}[z]$ con $n \ge … Sigue leyendo

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Parte principal de la serie de Laurent de $1/\sin^2z$ en $\pi < |z| < 2\pi$

RESUMEN. Determinamos todos los coeficientes $c_n$ $(n < 0)$ del desarrollo en serie de Laurent de la función $1/\sin^2z$ en la corona $\pi < |z| < 2\pi$. Enunciado Sea $\displaystyle\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_nz^n$ el desarrollo de Laurent de $f(z)=\dfrac{1}{\sin^2 z}$ … Sigue leyendo

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Plano de fases de $x^\prime=x,y^\prime=y^2$

RESUMEN. Esbozamos el plano de fases de un sistema diferencial autónomo. Enunciado Se considera el sistema diferencial autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x^\prime=x\\y^\prime=y^2\end{matrix}\right.$$ (1) Determinar sus soluciones. (2) Esbozar el plano de fases asociado al sistema. Solución (1) Las ecuaciones del … Sigue leyendo

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