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Archivo del Autor: Fernando Revilla
Separación de puntos y espacios de Hausdorff
RESUMEN. Demostramos una condición suficiente para que un espacio sea de Hausdorff via separación de puntos de familia de funciones continuas. Enunciado Sean $X$ e $Y$ conjuntos y una clase de aplicaciones $$\mathcal{F}=\{f_i:X\to Y, i\in I\}.$$ Se dice que $\mathcal{F}$ … Sigue leyendo
Publicado en Miscelánea matemática
Etiquetado espacios, Hausdorff, puntos, separación
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Límites en dos variables
RESUMEN. Proporcionamos ejercicios de límites en dos variables. Enunciado Demostrar usando la definición que $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}(x+y)=0.$ Demostrar usando la definición que $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}xy=0.$ Demostrar que $L=\displaystyle\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^3 – y^3}{x^2+y^2}=0.$ Se considera la función $$f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\frac{y}{x}\sin (x^2+y^2) … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado límites
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Conjunto cerrado como intersección contable de abiertos
RESUMEN. Demostramos que en todo espacio métrico, cualquier conjunto cerrado se puede expresar como intersección contable de abiertos. Enunciado Demostrar que en todo espacio métrico, cualquier conjunto cerrado se puede expresar como intersección contable de abiertos. Solución Sea $(X,d)$ un … Sigue leyendo
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Norma en el espacio de las funciones de clase 1
RESUMEN. Construimos una norma en el espacio de las funciones de clase 1 en el intervalo cerrado $[a,b].$ Enunciado En el espacio vectorial $C^1[a,b]$ de las funciones reales definidas en $[a,b]$ con derivada continua, demostrar que $$ \|f\|=\max |f(t)|+\max |f^{\prime}(t)|$$ … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
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Límite por cambio de variable
RESUMEN. Calculamos un límite efectuando un cambio de variable, previo a la aplicación de la regla de L’Hopital. Enunciado Calcular el límite $L=\displaystyle\lim_{x \to\infty}\left(\displaystyle\frac{x}{\sin\frac{1}{x}} – x^2\right).$ Solución Efectuando el cambio de variable $t=1/x$ queda $$L=\lim_{t \to 0}\left(\displaystyle\frac{\dfrac{1}{t}}{\sin t} – \frac{1}{t^2}\right)=\lim_{t\to … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
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