Archivo del Autor: Fernando Revilla

$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}.$

RESUMEN. Calculamos un límite por sumas de Riemann. Enunciado Calcular $L=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}.$ Solución Denotemos $A(n)={\dfrac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots (n+n)}}.$ Entonces, $$A(n)=\displaystyle\sqrt[n]{\frac{(n+1)(n+2)\cdots (n+n)}{n^n}}=\sqrt[ n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1+\frac{n}{n}\right)}.$$ Tomando logaritmos, $$\log A(n)=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n{\log \left(1+\frac{k}{n}\right)}$$ y usando la conocida fórmula de las sumas de Riemann $$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1f(x)\;dx$$ obtenemos $$\lim_{n\to … Sigue leyendo

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Edo $y^{\prime\prime}=x(y^\prime)^3$

RESUMEN. Resolvemos una ecuación diferencial de segundo orden. Enunciado Resolver la ecuación diferencial de segundo orden $y^{\prime\prime}=x(y^\prime)^3.$ Solución Denotando $p=y^\prime$ queda $p^\prime=xp^3$ o bien $dp/dx=xp^3$ o bien $dp/p^3=xdx$, ecuación de variables separadas. Integrando $$\int \frac{dp}{p^3}=\int xdx,\quad -\frac{1}{p^2}=\frac{x^2}{2}+C,$$ $$-\frac{1}{p^2}=x^2+C,\quad p^2=\frac{1}{-x^2-C},$$ $$p=\frac{1}{\sqrt{C_1-x^2}},\quad … Sigue leyendo

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Isomorfismo entre dos anillos

RESUMEN. Establecemos un isomorfismo entre dos anillos. Enunciado (1) Demostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\left\{{a+b\sqrt{2}}:a,b\in\mathbb{Z}\right\}$ es anillo unitario y conmutativo con las operaciones suma y producto habituales. (2) Demostrar que $$H=\left\{{\begin{pmatrix} a & 2b \\b & a \end{pmatrix}}: a,b \in \mathbb{Z}\right\}$$ es anillo … Sigue leyendo

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Plano osculador y curva plana

RESUMEN. Demostramos que una curva es plana usando el concepto de plano osculador. Nota. Este problema ya se resolvió en Una curva plana sin usar el concepto de plano osculador. Enunciado Demostrar que la curva de ecuaciones paramétricas $$x=t,\;y=\dfrac{t^2+t+2}{t},\;z=\dfrac{-t^2-t+3}{t}\quad (t>0)$$ … Sigue leyendo

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Factorización canónica de una aplicación

RESUMEN. Construimos la factorización canónica de una aplicación. Enunciado Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vacíos y $f:A\to B$ una aplicación. (1) Demostrar que la relación en $A$: $$xR y\Leftrightarrow f(x)=f(y)$$ es de equivalencia. Determinar el conjunto cociente $A/R$. … Sigue leyendo

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