Archivo del Autor: Fernando Revilla

Vértices de un triángulo equilátero

Enunciado Sean $z_1 , z_2, z_3$ tres números complejos tales que $$\left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right |\text{ y }z_1+z_2+z_3=0.$$ Demostrar que son los vértices de un triángulo equilátero. Solución Sean $\left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right |=a>0.$ Tenemos $$z_1+z_2=-z_3\Rightarrow … Sigue leyendo

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Puntos de inflexión que yacen en una curva

Enunciado Demostrar que los puntos de inflexión de la curva de ecuación $y=\dfrac{\sin x}{x}$ yacen en la curva $y^2(x^4 + 4) = 4.$ Solución La derivada segunda de $y$ es $$y^{\prime\prime}=\ldots=-\displaystyle\frac{(x^2-2)\sin x +2x\cos x}{x^3}.$$ Para que exista punto de inflexión … Sigue leyendo

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Extremos de $f(x,y)=x^3+y^3$ sobre una elipse

Enunciado Determinar los extremos de la función $$f(x,y)=x^3+y^3$$ sobre la elipse $$E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x^2+y^2+ x+y=xy\}$$ Solución Veremos tres métodos distintos. Método 1. Multiplicadores de Lagrange Podemos escribir $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$. En consecuencia en $E$ se verifica $f(x,y)=(x+y)(-x-y)=-(x+y)^2.$ Se trata pues de hallar los … Sigue leyendo

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Principio del argumento

RESUMEN. Demostramos el Principio del argumento y damos un ejemplo de aplicación. Enunciado Demostrar el Principio del argumento. Si $f(z)$ es una función meromorfa no idénticamente nula dentro y sobre un contorno cerrado simple $C$ y $f(z)$ no tiene ni … Sigue leyendo

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Desigualdad con logaritmos

RESUMEN. Demostramos una desigualdad con logaritmos. Enunciado Hallar el máximo absoluto de la función $$f:(0,+\infty)\to \mathbb R,\quad f(t)=\frac{\log t}{t}.$$ Demostrar la desigualdad $$-ae \log x\le x^{-a},\;\; (\forall x > 0 ,\; \forall a\in\mathbb R).$$ Solución Derivando, $$f(t)=\frac{\dfrac{1}{t}t-1\log t}{t^2}=\frac{1-\log t}{t^2}=0\Leftrightarrow 1-\log … Sigue leyendo

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