Propiedades del complementario

Proporcionamos ejercicios sobre propiedades del complementario.

Enunciado
En $\mathcal{P}(U)$ demostrar:
1. $\emptyset^c=U,\;U^c=\emptyset.$
2. $(A^c)^c=A.$
3. $(a)\;(A\cup B)^c=A^c\cap B^c,\;(b)\;(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$ (Leyes de Morgan).
4. $A\subset B\Rightarrow B^c\subset A^c.$
5. $(a)\;A\cup A^c=U.\quad (b)\;A\cap A^c=\emptyset .$

Solución
1. Tenemos $\emptyset^c=\{x\in U:x\not\in \emptyset\}$. Pero todo elemento $x\in U$ no pertenece a $\emptyset$, en consecuencia $\emptyset^c=U$.
   Tenemos $U^c=\{x\in U:x\not\in U\}$. Pero ningún elemento $x$ puede a la vez pertenecer y no pertenecer a $U$, en consecuencia $U^c=\emptyset$.
2. Por una parte, $x\in (A^c)^c\Rightarrow x\not\in A^c=\{y\in U:y\notin A\}\Rightarrow x\in A$, es decir, $(A^c)^c\subset A$. Por otra, $x\in A\Rightarrow x\not \in A^c\Rightarrow x\in (A^c)^c$, es decir $A\subset (A^c)^c$.
3. $(a)$ Demostramos directamente la igualdad escribiendo equivalencias: $$x\in(A\cup B)^c\Leftrightarrow x\not\in A\cup B\Leftrightarrow x\not\in A\text{ y }x\not\in B\\
   \Leftrightarrow x\in A^c\text{ y }x\in B^c\Leftrightarrow x\in A^c\cap B^c.$$ $(b)$ Análogamente: $$x\in(A\cap B)^c\Leftrightarrow x\not\in A\cap B\Leftrightarrow x\not\in A\text{ o }x\not\in B
   \Leftrightarrow x\in A^c\text{ o }x\in B^c\Leftrightarrow x\in A^c\cup B^c.$$
4. Si $x\in B^c$, entonces $x\not\in B$. Como por hipótesis $A\subset B$, se verifica $x\not\in A$, es decir $x\in A^c.$
5. $(a)$ Los conjuntos $A$ y $A^c$ están contenidos en $U$ por las definiciones de conjunto universal y de complementario. Por tanto, si $x\in A\cup A^c$, o bien $x\in A$ o bien $x\in A^c$ y en ambos casos $x\in U.$ Es decir, $A\cup A^c\subset U$.
   Si $x\in U$, o bien $x\in A$, o bien $x\not\in A$. De forma equivalente, o bien $x\in A$ o bien $x\in A^c$ lo cual implica que $x\in A\cup A^c$ . Es decir, $U\subset A\cup A^c$.
   $(b)$ Tenemos las equivalencias $$x\in A\cap A^c\Leftrightarrow x\in A\text{ y }x\in A^c\Leftrightarrow x\in A\text{ y } x\not \in A.$$ No existe elemento alguno $x$ tal que $x\in A$ y $x\not\in A$, lo cual implica que $A\cap A^c=\emptyset$.