Teorema de Rolle

Proporcionamos ejercicios sobre el Teorema de Rolle.

Enunciado
1. Verificar la validez del Teorema de Rolle para la función $ f(x)=x^3+4x^2-7x-10$ en el intervalo $[-1,2]$. Hallar el $c$ o los $c$ correspondientes.
2. Verificar la validez del Teorema de Rolle para la función $f(x)=\log (\sin x)$ en el intervalo $[\pi/6,5\pi/6]$
3. Aplicar el Teorema de Rolle para demostrar que para todo $m\in\mathbb{R}$ la ecuación $2x^5+x+m=0$ no puede tener dos soluciones reales.
4. Demostrar el teorema de Rolle:
   Sea $ f:[a,b]\to \mathbb{R} $ una función. Supongamos que se verifica:
   $(i)\; f $ es continua en $ [a,b]. $
   $(ii)\;f$ es derivable en $ (a,b).$
   $(iii)\; f(a)=f(b) $.
   Entonces, existe al menos un $c\in (a,b)$ tal que $f'(c)=0 $
5. Verificar la validez del teorema de Rolle para la función $f:[1,2]\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=\sqrt[3]{x^2-3x+2}.$
6. Demostrar que la ecuación $x^3-3x+\alpha=0$ con $\alpha\in\mathbb{R}$ no puede tener dos soluciones distintas en el intervalo $(0,1).$
7. Sea $f(x)=1+x^m(x-1)^n$ en donde $m,n$ son enteros positivos. Sin hallar $f'(x)$ demostrar que la ecuación $f'(x)=0$ tiene al menos una solución en el intervalo $(0,1)$.
8. Se considera el polinomio $p(x)\in\mathbb{R}[x]:$ $$p(x)=a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n.$$ Demostrar que si $x_0$ es una raíz positiva de $p(x)$, entonces el polinomio $a_1+2a_2x+\ldots+na_nx^{n-1}$ tiene una raíz positiva menor que $x_0$.
9. Sin calcular la derivada de la función $$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),$$ establecer cuantas raíces tiene $f'(x)$ e indicar en qué intervalos están.
10. Demostrar que la función $f(x)=x^n+px+q$ con $n\geq 2$ entero y $p,q$ reales no puede tener más de dos soluciones reales siendo $n$ par, ni más de tres siendo $n$ impar.

Solución
1. $(i)\;f $ es evidentemente continua en $[-1,2] $ (teorema de continuidad de las funciones elementales).
   $(ii)\; f$ es derivable en $(-1,2)$ (teoremas de derivación de funciones elementales) siendo su derivada $ f'(x)=3x^2+8x-7 $.
   $(iii)\;f(-1)=\ldots=0 $ y $f(2)=\ldots=0$ , tenemos por tanto $f(-1)=f(2).$
   Como consecuencia del Teorema de Rolle existe al menos un $c\in (-1,2$) tal que $f'(c)=0.$ Procedamos a hallar estos valores de $c:$ $$f'(c)=0\Leftrightarrow 3c^2+8c-7=0\\\Leftrightarrow c=\dfrac{-8\pm \sqrt{148}}{6}=\dfrac{-8\pm 2\sqrt{37}}{6}=\dfrac{-4\pm \sqrt{37}}{3}.$$ Por tanto $ c=\dfrac{-4+\sqrt{37}}{3}\approx 0.69$ o $c=\dfrac{-4-\sqrt{37}}{3}\approx -3.36 $. El primer $ c$ pertenece al intervalo $(-1,2)$ y el segundo, no.
2. $(i)$ Para todo $x\in [\pi/6,5\pi/6]$ tenemos $\sin x>0$ por tanto $f(x)=\log (\sin x)$ está definida en dicho intervalo y es continua por el teorema de continuidad de las funciones elementales.
   $ (ii)$ $f$ es derivable en $(\pi/6,5\pi/6)$ (teoremas de derivación de funciones elementales) siendo su derivada $f'(x)=\cos x/\sin x$.
   $ (iii)$ $f(\pi/6)=\log \sin (\pi/6)=\log (1/2)$ y por otra parte $$f(5\pi/6)=\log \sin (5\pi/6)=\log (1/2),$$ por tanto $f(\pi/6)=f(5\pi/6)$. Como consecuencia del Teorema de Rolle existe al menos un $ c\in (\pi/6,5\pi/6)$ tal que $f'(c)=0$. Procedamos a hallar estos valores de $c$ en tal intervalo: $$f'(c)=0\Leftrightarrow \dfrac{\cos c}{\sin c}=0\Leftrightarrow \cos c=0\Leftrightarrow c=\dfrac{\pi}{2}.$$
3. Supongamos que la ecuación dada tuviera dos soluciones reales $a,b$ con $a<b$. Consideremos la función $f(x)= 2x^5+x+m$ definida en el intervalo $[a,b]$. Entonces, tendríamos $f(a)=f(b)=0$ y es claro que $f $ cumple las otras dos hipótesis del Teorema de Rolle. En consecuencia existiría un $c\in (a,b)$ tal que $f'(c)=0$, es decir existiría un $c\in (a,b)$ tal que $10c^4+1=0$.
   Pero esto es absurdo pues el primer miembro es un número mayor que $0$. Es decir, si suponemos que la ecuación dada tiene dos soluciones reales llegamos a un absurdo. Se concluye pues que la ecuación no puede tener dos soluciones reales.
4. Por el teorema de Weierstrass, la función $ f$ tiene un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo $[a,b]$. Si ambos se alcanzan en los extremos del intervalo, llamemos $K=f(a)=f(b)$. Entonces $K\leq f(x)\leq K $ para todo $ x\in [a,b] $ lo cual implica que $ f(x)=K $ (función constante en $ [a,b]$) y en consecuencia $f'(c)=0 $ para todo $c\in (a,b) $. Si alguno de ellos se alcanza en un $c\in (a,b)$ entonces tenemos en $ c $ un extremo relativo, con lo cual $ f'(c)=0 $. Queda pues demostrado el teorema.
5. La función $f(x)=\sqrt[3]{x^2-3x+2}$ es elemental y está definida en $\mathbb{R}$, por tanto es continua en $\mathbb{R}$ (en particular en $[1,2]$). Por otra parte, aplicando un conocido teorema de derivación: $$f'(x)=\frac{2x-3}{3\sqrt[3]{(x^2-3x+2)^2}}\;(\text{si }x^2-3x+2\neq 0).$$ Pero $x^2-3x+2= 0$ para $x=2$ o $x=1$. Es decir, $f$ es derivable en $(1,2)$. Además, $f(1)=f(2)$ (ambos $0$). Como consecuencia del teorema de Rolle existe un $c\in (1,2)$ tal que $f'(c)=0$ o equivalentemente $$\exists c\in (1,2):\frac{2c-3}{3\sqrt[3]{(c^2-3c+2)^2}}=0.$$ La igualdad anterior se cumple para $c=3/2$ (que pertenece a $(1,2)$.
6. Supongamos que la ecuación tuviera dos soluciones $a,b$ con $0<a<b<1$ y consideremos la función $$f:[a,b]\to \mathbb{R},\quad f(x)=x^3-3x+\alpha.$$ La función $f(x)=x^3-3x-\alpha$ es claramente continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$. Además, se verificaría $f(a)=f(b)=0$. Como consecuencia del teorema de Rolle existiría un $c\in (a,b)$ tal que $f'(c)=0$, es decir $3c^2-3=0$ cuyas soluciones son $c=1,c=-1$. Pero esto contradice $$0<a<c<b<1.$$ Concluimos que la ecuación dada no puede tener dos soluciones distintas en el intervalo $(0,1).$
7. La función $f$ es polinómica y por tanto, continua en $[0,1]$ y derivable en $(0,1)$. Además $f(0)=f(1)$ (ambos igual a $1$). Como consecuencia del teorema de Rolle existe un $c\in (0,1)$ tal que $f'(c)=0.$
8. La función $p(x)$ es polinómica y por tanto continua en $[0,x_0]$ y derivable en $(0,x_0)$. Además $p(0)=p(x_0)$ (ambos iguales a $0$). Como consecuencia del teorema de Rolle, existe un $c\in (0,x_0)$ tal que $p'(c)=0$, o equivalentemente $$a_1+2a_2c+\ldots+na_nc^{n-1}=0,$$ lo cual implica que $a_1+2a_2x+\ldots+na_nx^{n-1}$ tiene una raíz positiva menor que $x_0$.
9. Se verifica $f(1)=f(2)=f(4)=f(4)=0$ y la función $f$ al ser polinómica es derivable (y por tanto continua) en $\mathbb{R}$. Se verifican por tanto las hipótesis del teorema de Rolle para la función $f$ en los intervalos $[1,2]$, $[2,3]$ y $[3,4]$. Como consecuencia existen $c_1\in (1,2)$, $c_2\in (2,3)$ y $c_3\in (3,4)$ tales que $f'(c_1)=f'(c_2)=f'(c_3)=0$. Es decir, $f'(x)$ tiene al menos tres raíces reales y dado que es polinomio de tercer grado, tiene exactamente $3$.
10. La función $f$ es polinómica, por tanto continua en todo intervalo cerrado $[a,b]$ y derivable en todo intervalo abierto $(a,b)$. Sea $n$ par y supongamos que $f$ tuviera tres raíces reales $r_1<r_2<r_3$. Se verificarían las hipótesis del teorema de Rolle para $f$ en los intervalos $[r_1,r_2]$ y $[r_2,r_3]$. Por tanto existirían $c_1\in (r_1,r_2)$, $c_2\in (r_2,r_3)$ tales que $f'(c_1)=f'(c_2)=0$ siendo $c_1\neq c_2$. Pero $$f'(x)=0\Leftrightarrow nx^{n-1}+p=0\Leftrightarrow x=\sqrt[n-1]{-p/n},$$ y al ser $n-1$ impar, la raíz $\sqrt[n-1]{-p/n}$ es única (contradicción).
    Sea $n$ impar y supongamos que $f$ tuviera cuatro raíces reales $r_1<r_2<r_3<r_4$. Se verificarían las hipótesis del teorema de Rolle para $f$ en los intervalos $[r_1,r_2]$, $[r_2,r_3]$ y $[r_3,r_4]$. Por tanto existirían $c_1\in (r_1,r_2)$, $c_2\in (r_2,r_3)$, $c_3\in (r_3,r_4)$ tales que $f'(c_1)=f'(c_2)=f'(c_3)=0$ siendo $c_1,c_2,c_3$ distintos dos a dos. Pero de nuevo, $$f'(x)=0\Leftrightarrow nx^{n-1}+p=0\Leftrightarrow x=\sqrt[n-1]{-p/n},$$ y al ser $n$ par, la raíz $\sqrt[n-1]{-p/n}$ tiene a lo sumo dos soluciones (contradicción).