Máximo, mínimo, cotas

Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de máximo, mínimo y cotas.

Enunciado
1. En $\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$ con el orden usual $\leq,$ hallar, caso de existir los elementos mínimo y máximo.
2. En $\mathbb{Z}^-=\{\ldots,-3,-2,-1\}$ con el orden usual $\leq,$ hallar, caso de existir los elementos mínimo y máximo.
3. En $\mathbb{Z}$ con el orden usual $\leq,$ hallar, caso de existir los elementos mínimo y máximo.
4. En $A=\{3,7,8,12\}$ con el orden usual $\leq,$ hallar, caso de existir los elementos mínimo y máximo.
5. En $\mathbb{R}$ con el orden usual, determinar las cotas superiores e inferiores de $B=(0,1].$ ¿Está $B$ acotado?
6. Sea el conjunto $A=\{3,4,5,6,7,8,9,10\}$ con la relación de orden $x\leq y$ $\Leftrightarrow$ $x$ divide a $y.$ Se pide:
   $(a)$ Analizar la existencia de máximo y mínimo en $A$.
   $(b)$ Determinar las cotas superiores e inferiores de $B=\{6,9\}.$
7. Dado $U=\{a,b,c\},$ se establece en $\mathcal{P}(U)$ la relación de orden inclusión. Se pide:
   $(a)$ Analizar la existencia de máximo y mínimo en $\mathcal{P}(U).$
   $(b)$ Determinar las cotas superiores e inferiores del subconjunto de $\mathcal{P}(U):$ $B=\left\{\{a\},\{a,b\}\right\}.$
8. Sea $A$ un conjunto con una relación de orden $\leq.$ Demostrar que el máximo (mínimo), si existe, es único.

Solución
1. De acuerdo con las definiciones de elemento mínimo y máximo, $0$ es elemento mínimo y no existe elemento máximo.
2. De acuerdo con las definiciones de elemento mínimo y máximo, $-1$ es elemento máximo y no existe elemento mínimo.
3. De acuerdo con las definiciones de elemento mínimo y máximo, no existe ninguno de ellos.
4. De acuerdo con las definiciones de elemento mínimo y máximo, $3$ es elemento mínimo y $12$ es elemento máximo.
5. De acuerdo con las definiciones de cota superior e inferior, las cotas superiores son todos los números reales $\geq 1$ y las inferiores, todos los números reales $\leq 0.$ Dado que existen cotas superiores e inferiores, $B$ está acotado superior e inferiormente, por tanto está acotado.
6. $(a)$ No existe elemento en $A$ que divida a todos los de $A,$ por tanto no existe mínimo. Tampoco existe elemento en $A$ que sea dividido por todos los de $A,$ por tanto no existe máximo.
   $(b)$ El único elemento $a$ de $A$ que cumple $a\leq 6$ y $a\leq 9$ es $a=3,$ en consecuencia $3$ es la única cota inferior de $B.$ Por otra parte, no existen elementos $a$ en $A$ que cumplan $6\leq a$ y $8\leq a,$ en consecuencia $B$ no tiene cotas superiores.
7. $(a)$ Para todo $X$ elemento de $\mathcal{P}(U),$ se verifica $\emptyset \subset X,$ y $X\subset U$, por tanto $\emptyset$ es elemento mínimo y $U$ es elemento máximo.
   $(b)$ Los elementos de $\mathcal{P}(U)$ que están contenidos en todos los de $B,$ son $\emptyset$ y $\{a\}$ (cotas inferiores de $B$). Los elementos de $\mathcal{P}(U)$ que contienen a todos los de $B,$ son $\{a,b\}$ y $U$ (cotas superiores de $B$).
8. Supongamos que hubiera dos elementos máximos $a$ y $a’.$ Por ser $a$ máximo se verifica $a’\leq a$ y por ser $a’$ máximo, $a\leq a’.$ Por la propiedad antisimétrica, $a=a’.$ Análoga demostración para la unicidad del mínimo.