Ecuación diferencial de variables separadas

Proporcionamos ejercicios sobre la ecuación diferencial de variables separadas.

Enunciado
1. Hallar la solución general de la ecuación diferencial $$x(y^2-1)dx-y(x^2-1)dy=0.$$
2. Hallar la solución de la ecuación diferencial $(1+e^x)yy’=e^x$ que satisface la condición inicial $y(0)=1.$
3. Resolver la ecuación $(x^2-x)y’=y^2+y.$
4. Determinar la ecuación de una curva que pasa por el punto $(0,4)$ y que la pendiente de la recta tangente en cada uno de sus puntos es igual a la ordenada del punto aumentada en cinco unidades.
5. Resolver la ecuación diferencial $x’=x+\dfrac{1}{x}$ con la condición inicial $x(0)=a\;\;(a>0).$ Escribir la solución en forma explícita y hallar su intervalo de continuidad (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
Recordamos que se dice que la ecuación $P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0$ es de variables separadas, si es de la forma $$P_1(x)P_2(y)dx+Q_1(x)Q_2(y)dy=0.$$ Si la ecuación es de variables separadas, dividiendo entre $P_2(y)Q_1(x):$ $$\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}dx+\frac{Q_2(y)}{P_2(y)}dy=0.$$ Integrando, $$\int \frac{P_1(x)}{Q_1(x)}dx+\int \frac{Q_2(y)}{P_2(y)}dy=C,$$ lo cual proporciona una solución general de la ecuación diferencial.
Podemos escribir la ecuación en la forma $$\displaystyle\frac{x}{x^2-1}dx-\displaystyle\frac{y}{y^2-1}dy=0.$$ Integrando: $\displaystyle\frac{1}{2}\log \left|x^2-1\right|-\displaystyle\frac{1}{2}\log \left|y^2-1\right|=K$ o bien $4\log \left | \displaystyle\frac{x^2-1}{y^2-1} \right |=K_1.$ Tomando exponenciales queda $$(x^2-1)=C(y^2-1).$$
Podemos escribir la ecuación en la forma $$ydy=\displaystyle\frac{e^x}{1+e^x}dx.$$ Integrando, obtenemos la solución general $$\displaystyle\frac{y^2}{2}=\log (1+e^x)+C.$$ Sustituyendo $x=0,\;y=1$ en la igualdad anterior obtenemos $C=1/2-\log 2$, de donde $$y^2=\log \left(\displaystyle\frac{1+e^x}{2}\right)^2+1.$$ La solución particular pedida es por tanto $$y=\sqrt {\log \left(\displaystyle\frac{1+e^x}{2}\right)^2+1}.$$
Podemos expresar la ecuación en la forma: $$\frac{dy}{y^2+y}-\frac{dx}{x^2-x}.$$ Integrando: $$\int\frac{dy}{y^2+y}-\int\frac{dx}{x^2-x}=K.$$ Descomponiendo en fracciones simples, obtenemos: $$\frac{1}{y^2+y}=\frac{1}{y}-\frac{1}{y+1},\quad\frac{1}{x^2-x}=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}.$$
$$\int\frac{dy}{y^2+y}=\int \left(\frac{1}{y}- \frac{1}{y+1}\right)dy=\log \left|y\right|-\log \left|y+1\right|=\log \left|\frac{y}{y+1}\right|.$$ $$\int\frac{dx}{x^2-x}=\int \left(\frac{1}{x+1}- \frac{1}{x}\right)dx=\log \left|x+1\right|-\log \left|x\right|=\log \left|\frac{x-1}{x}\right|.$$ Queda $$\log \left|\frac{y}{y+1}\right|-\log \left|\frac{x-1}{x}\right|=K,\;\log \left|\frac{xy}{(y+1)(x-1)}\right|=K,$$ $$\frac{xy}{(y+1)(x-1)}=e^K.$$ Llamando $C=e^K,$ obtenemos la solución general $$xy=C(x-1)(y+1).$$
Sabemos que la pendiente de la recta tangente a una curva $y=y(x)$ es la derivada $y’,$ por tanto la curva pedida ha de cumplir $y’=y+5,$ que proporciona la ecuación de variables separadas $dy-(y+5)dx=0.$ Tenemos $$\frac{dy}{y+5}=dx,\;\log \left|y+5\right|=x+K,\;y+5=e^Ke^x,\;y+5=Ce^x.$$ Obligando a que la curva pase por $(0,4)$ obtenemos $C=9,$ por tanto la curva pedida es $y=9e^x-5.$
Es una ecuación de variables separadas. Usamos el método estándar para su resolución: $$\displaystyle\int \dfrac{x\;dx}{x^2+1}=\displaystyle\int dt,\; \dfrac{1}{2}\log (x^2+1)=t+C,\;\log (x^2+1)=2t+2C,$$ $$x^2+1=e^{2C}e^{2t},\;x^2+1=C_1e^{2t},\;x=\sqrt{C_1e^{2t}-1}.$$ La condición inicial $x(0)=a\;\;(a>0)$ equivale a $a^2+1=C_1.$ La solución pedida es por tanto $$ x=+\sqrt{(a^2+1)e^{2t}-1}.$$ Hallemos el intervalo de continuidad de la solución. La función está definida y es derivable si y sólo si $(a^2+1)e^{2t}-1>0.$ Tenemos $$(a^2+1)e^{2t}-1>0 \Leftrightarrow (a^2+1)e^{2t}>1 \Leftrightarrow e^{2t}>\dfrac{1}{a^2+1} \Leftrightarrow$$ $$2t>\log \dfrac{1}{a^2+1} \Leftrightarrow 2t>\log 1-\log (a^2+1) \Leftrightarrow t>-\frac{1}{2}\log (a^2+1)$$ El intervalo de continuidad pedido es por tanto $$\left(-(1/2)\log (a^2+1),+\infty\right).$$