Ecuación diferencial exacta

Proporcionamos ejercicios sobre la ecuación diferencial exacta.

Enunciado
Resolver las ecuaciones diferenciales
1. $\;(3x^2+6xy^2)dx+(6x^2y+4y^3)dy=0.$
2. $\; \log (y^2+1)\;dx+\dfrac{2y(x-1)}{y^2+1}dy=0.$
3. $\; (x^2+y^2+2x)\;dx+2xy\;dy=0.$

Solución
Recordamos que la ecuación $P(x,y)dx+Q(x.y)dy$ se llama diferencial exacta si se verifica la relación $P_y=Q_x.$ Además, supongamos que $P(x,y),$ $Q(x,y)$ son continuas, así como sus derivadas parciales $P_y$ y $Q_x$ en un recinto $D$ simplemente conexo del plano y se verifica $P_y=Q_x$ en $D.$ En estas hipótesis, se sabe que existe una función $u=u(x,y)$ (única salvo constante aditiva) tal que se verifica en $D:$ $$du=u_xdx+u_y=Pdx+Qdy.$$ Entonces, la solución general de la ecuación diferencial exacta $Pdx+Qdy=0$ es $u(x,y)=C.$
1. Tenemos $P_y=12xy,$ $Q_x=12xy,$ por tanto la ecuación es diferencial exacta. Hallemos $u$ tal que $$\left \{ \begin{matrix} u_x=P(x,y)=3x^2+6xy^2\\u_y=Q(x,y)=6x^2y+4y^3. \end{matrix}\right.$$ Integrando la primera igualdad: $$u=\int (3x^2+6xy^2)\;dx=x^3+3x^2y^2+\varphi (y).$$ Usando ahora la segunda igualdad: $$u_y=6x^2y+\varphi'(y)=6x^2y+4y^3\Rightarrow \varphi'(y)=4y^3\Rightarrow \varphi (y)=y^4.$$ La solución general de la ecuación es por tanto $$x^3+3x^2y^2+y^4=C.$$
2. Tenemos: $$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{2y}{y^2+1},\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{2y}{y^2+1},$$ por tanto la ecuación es diferencial exacta. Hallemos $u$ tal que $$\left \{ \begin{matrix} u_x=P(x,y)=\log (y^2+1)\\u_y=Q(x,y)=\frac{2y(x-1)}{y^2+1}. \end{matrix}\right.$$ Integrando la segunda igualdad: $$u=\int \frac{2y(x-1)}{y^2+1}\;dy=(x-1)\log (y^2+1)+\varphi (x).$$ Usando ahora la primera igualdad: $$u_x=\log (y^2+1)+\varphi'(x)=\log (y^2+1)\Rightarrow \varphi'(x)=0\Rightarrow \varphi (x)=K.$$ La solución general de la ecuación es por tanto $$(x-1)\log (y^2+1)=C.$$
3. Tenemos: $P_y=2y=Q_x,$ por tanto la ecuación es diferencial exacta. Hallemos $u$ tal que $$\left \{ \begin{matrix} u_x=P(x,y)=x^2+y^2+2x\\u_y=Q(x,y)=2xy. \end{matrix}\right.$$ Integrando la primera igualdad: $$u=\int (x^2+y^2+2x)\;dx=\frac{x^3}{3}+y^2x+x^2+\varphi (y).$$ Usando ahora la segunda igualdad: $$u_y=2xy+\varphi'(y)=2xy\Rightarrow \varphi'(y)=0\Rightarrow \varphi (y)=K.$$ La solución general de la ecuación es por tanto $$\frac{x^3}{3}+y^2x+x^2=C.$$