Grupo de clases residuales

Publicada el marzo 3, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre el grupo de clases residuales.

RESUMEN TEÓRICO
  • Teorema. Sea $m$ entero, y sea $(m)=\{x\in\mathbb{Z}:x\text{ es múltiplo de }m\}.$ Entonces, $(m)$ es subgrupo de $(\mathbb{Z},+).$
  • Dado que $(\mathbb{Z},+)$ es grupo conmutativo, $H=(m)$ es subgrupo normal de $\mathbb{Z}$, y por tanto está definido el grupo cociente $\left(\mathbb{Z}/(m),+\right),$ que es claramente conmutativo. La operación $ + $ en $ \mathbb{Z}/(m) $ es: $$\left(a+(m)\right)+\left(b+(m)\right)=(a+b)+(m)\qquad \forall a,b\in\mathbb{Z}.$$
  • Teorema. Sea $m>1$ entero. Entonces,
    $(i)$ $\mathbb{Z}/(m)$ tiene $m$ elementos, a saber: $$\mathbb{Z}/(m)=\left\{\;[0],\;[1],\;[2],\;\ldots,\;[m-1]\;\right\}.$$ $(ii)$ Para todo $0\leq a\leq m-1$ y $0\leq b\leq m-1$ se verifica: $$[a]+[b]=[c].$$ siendo $c$ el resto de la división euclídea de $a+b$ entre $m.$
  • A cada clase $[a]$ (que es $ [a]=a+(m) $), la representamos abreviadamente por $\bar{a},$ por tanto podemos escribir $$\mathbb{Z}/(m)=\left\{\;\bar{0},\;\bar{1},\;\bar{2},\;\ldots,\;\overline{m-1}\;\right\}.$$ Más aún, dado que no ha lugar a confusión también podemos escribir: $$\mathbb{Z}/(m)=\left\{\;0,\;1,\;2,\;\ldots,\;m-1\;\right\}.$$
  • Ejemplo. Construyamos la tabla de Cayley de $\mathbb{Z}/(3)=\left\{0,1,2\right\}.$ Dado que $a+b$ es $c,$ siendo $c$ resto de la división euclídea de $a+b$ entre $3:$ $$\begin{array}{r|*{3}{r}}{+}&0&1&2\\\hline
    {}0&0&1&2\\
    {}1&1&2&0\\
    {}2&2&0&1
    \end{array}$$ Los correspondientes elementos opuestos son:
    $$-0=0,\;-1=2,\;-2=1.$$
  • Definición. A $\mathbb{Z}/(m)$ usualmente se le denota por $\mathbb{Z}_m$ y al grupo $(\mathbb{Z}_m,+)$ se le llama grupo de las clases residuales módulo $ m. $
    Enunciado
  1. Construir la tabla de Cayley de $\mathbb{Z}/(3)=\left\{0,1,2\right\}.$
  2. Construir las tablas de Cayley de $(\mathbb{Z}_2,+)$ y $(\mathbb{Z}_4,+).$
  3. Construir la tabla de Cayley de $(\mathbb{Z}_6,+).$ Escribir el opuesto de cada elemento.
  4. Construir la tabla de Cayley de $(\mathbb{Z}_5,+).$ Escribir el opuesto de cada elemento.
    Solución
  1. Dado que $a+b$ es $c,$ siendo $c$ resto de la división euclídea de $a+b$ entre $3:$ $$\begin{array}{r|*{3}{r}}{+}&0&1&2\\\hline
    {}0&0&1&2\\
    {}1&1&2&0\\
    {}2&2&0&1
    \end{array}$$ Los correspondientes elementos opuestos son:
    $$-0=0,\;-1=2,\;-2=1.$$
  2. Usando la conocida forma de sumar clases, las correspondientes tablas son: $$\begin{array}{r|*{2}{r}}{+}&0&1\\\hline
    {}0&0&1\\
    {}1&1&0
    \end{array}\qquad \begin{array}{r|*{4}{r}}{+}&0&1&2&3\\\hline
    {}0&0&1&2&3\\
    {}1&1&2&3&0\\
    {}2&2&3&0&1\\
    {}3&3&0&1&2
    \end{array}$$
  3. Usando la conocida forma de sumar clases: $$\begin{array}{r|*{6}{r}}{+}&0&1&2&3&4&5\\\hline
    {}0&0&1&2&3&4&5\\
    {}1&1&2&3&4&5&0\\
    {}2&2&3&4&5&0&1\\
    {}3&3&4&5&0&1&2\\
    {}4&4&5&0&1&2&3\\
    {}5&5&0&1&2&3&4\\
    \end{array}$$ Los correspondientes opuestos son:
    $$-0=0,\;-1=5,\;-2=4,\;-3=3,\;-4=2,\;-5=1.$$
  4. Usando la conocida forma de sumar clases: $$\begin{array}{r|*{5}{r}}{+}&0&1&2&3&4\\\hline
    {}0&0&1&2&3&4\\
    {}1&1&2&3&4&0\\
    {}2&2&3&4&0&1\\
    {}3&3&4&0&1&2\\
    {}4&4&0&1&2&3
    \end{array}$$ Los correspondientes opuestos son: $$-0=0,\;-1=4,\;-2=3,\;-3=2,\;-4=1.$$
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