Generador de la extensión $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$

En este problema demostramos que un generador de la extensión $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ es $\sqrt{2}+\sqrt{3}.$

Enunciado
Demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}).$

Solución
Demostremos el doble contenido.

(a) $\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}).$
Dado que $\sqrt{2}$ y $\sqrt{3}$ son elementos de $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}),$ también lo es $\sqrt{2}+ \sqrt{3}$ y al ser $\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ el menor cuerpo que contiene a $\mathbb{Q}\cup \{\sqrt{2}+ \sqrt{3}\},$ necesariamente $\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}).$

(b) $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3}).$
Podemos expresar $$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^{-1} = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} – \sqrt{3}}{2 – 3} = \sqrt{3} – \sqrt{2}.$$ Como $\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ es cuerpo y $\sqrt{2} + \sqrt{3}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3}),$ se verifica $\sqrt{3} – \sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3}).$ Por otra parte $$\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{3} – \sqrt{2} = 2 \sqrt{3} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3}),$$ lo cual implica que $\sqrt{3}=(1/2)(2\sqrt{3}) \in \mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3})$. Análogamente se demuestra que $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3}),$ con lo cual $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3}).$