Serie de los inversos de los números primos

Proporcionamos una demostración de la divergencia de la serie de los inversos de los números primos.

Enunciado
Denotamos por $p_n$ al enésimo número primo, es decir $p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7,\ldots$ y al conjunto de todos los números primos lo denotamos por $\mathbb{P}$. La letra $p$ designará siempre un número primo, por ejemplo $\sum_{p\ge N}p$ denota a $p_{N}+p_{N+1}+p_{N+2}+\cdots.$
Demostrar que la serie $$\displaystyle\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{p}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\cdots+\dfrac{1}{p_n}+\cdots$$ de la suma de los inversos de de los números primos es divergente.

Solución
Razonamos por contradicción. Si $\sum_{p\in\mathbb{P}}1/p$ es convergente de suma $S$, para $\epsilon=1/2$ existe $N$ natural tal que $$S-S_N=\displaystyle\sum_{p>N}\frac{1}{p}<\frac{1}{2}.$$ Sea $Q=\prod_{p\le N}p$ el producto de los números primos menores o iguales que $N.$ Entonces, los números $1+nQ$ con $n\in\mathbb{N}$ no son divisibles por primos menores que $N$. Efectivamente, si $p\le N$ cumple $p\mid(1+nQ)$ tendríamos $1+nQ=pk$ con $k\in\mathbb{N}$. Por otra parte $p\mid Q$, es decir $Q=ps$ con $s\in\mathbb{N}$. Entonces, $$1+nps=pk\text{ o bien } 1=p(k-ns)$$ lo cual es absurdo. Consideremos ahora $$P=\displaystyle\sum_{j=1}^{+\infty}\left(\sum_{p>N}\frac{1}{p}\right)^j<\sum_{j=1}^{+\infty}\frac{1}{2^j}=1.$$ Se verifica $$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{1+nQ}\le \sum_{j=1}^{+\infty}\left(\sum_{p>N}\frac{1}{p}\right)^j$$ porque cada término de la suma de la izquierda aparece en la suma de la derecha al menos una vez. Esto es claro, pues según se demostró, todo divisor primo $p$ de $1+nQ$ es mayor que $N$. Además, $1/(1+nQ)\le 1/p.$ Deducimos por tanto que $$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{1+nQ}\le 1.\qquad (1)$$
Pero la serie de la ecuación $(1)$ diverge pues $$\displaystyle\sum_{n=1}^{K}\dfrac{1}{1+nQ}\ge \frac{1}{2Q}\sum_{n=1}^{K}\dfrac{1}{n}$$ para todo $K$ y el lado derecho diverge para $K\to +\infty$ (serie armónica). La contradicción obtenida demuestra el teorema.

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