Números armónicos y constante de Euler-Mascheroni

Demostramos propiedades de los números armónicos y definimos la constante de Euler-Mascheroni

Enunciado

Se define el $n$-ésimo número armónico como la suma de los recíprocos de los primeros $n$ números naturales. Se le denota por $H_n$, es decir $$H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}.$$

1. Demostrar la representación de Euler de los números armónicos: $$H_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{1 – x^n}{1 – x}\,dx.$$
2. Demostrar la expresión combinatoria $$H_n=\displaystyle-\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k}\binom nk.$$
3. Demostrar que la sucesión $a_n=H_n-\log n$ es convergente con límite $\gamma$ que verifica $0 \le \gamma \le 1$. Al número $\gamma$ se le llama constante de Euler-Mascheroni.
   Nota. Se demuestra que $\gamma \approx 0.577$.

Solución
1. Usando la identidad $\dfrac{1-x^n}{1-x}=1+x+\cdots +x^{n-1}$, $$\displaystyle\int_0^1 \frac{1 – x^n}{1 – x}\,dx=\int_0^1(1+x+\ldots x^{n-1})\,dx=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}=H_n.$$
2. Usando el apartado anterior, tenemos $$H_n = \int_0^1 \frac{1 – x^n}{1 – x}\,dx\underbrace{=}_{x=1-t}\int_1^0\frac{1-(1-t)^n}{t}\,(-dt)=\int_0^1\frac{1-(1-t)^n}{t}\,dt$$ $$=\int_0^1\dfrac{1-\sum_{k=0}^n\binom nk 1^{n-k}(-t)^k}{t}=\int_0^1\left[-\sum_{k=1}^n(-1)^{k}\binom nk t^{k-1}\right]dt$$ $$-\sum_{k=1}^n (-1)^{k}\binom nk \int_0^1t^{k-1}\,dt=-\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k}\binom nk .$$
3. Veamos que $a_n$ es monótona decreciente. En efecto, $$a_{n+1}-a_n=H_{n+1}-H_n-\log (n+1)+\log n$$ $$=\frac{1}{n+1}+\log \frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}+\log \left(1-\frac{1}{n+1}\right).$$ Consideremos la función $f:[0,1)\to \mathbb{R},\;f(t)=t+\log (1-t)$. Tenemos $f(0)=0$ y $$f'(t)=1-\frac{1}{1-t}=\frac{-t}{1-t}<0\quad \forall t\in (0,1),$$ lo cual implica que $f$ es estrictamente decreciente en $[0,1)$. Como $1/(n+1)\in (0,1)$ concluimos que $a_{n+1}-a_n<0$ para todo $n$ y por ende, $a_n$ es monótona decreciente.

   Veamos ahora que $a_n$ tiene cota inferior. Para todo $k\ge 2$ $$\frac{1}{k} < \frac{1}{x}<\frac{1}{k-1}\Rightarrow \frac{1}{k} < \int_{k-1}^{k}\frac{dx}{x} < \frac{1}{k-1}$$ $$\Rightarrow H_n-1 < \int_{1}^{2}\frac{dx}{x}+\int_{2}^{3}\frac{dx}{x}+\cdots+\int_{n-1}^{n}\frac{dx}{x} < H_{n-1}$$ $$\Rightarrow H_n-1 < \int_{1}^{n}\frac{dx}{x} < H_{n-1}\Rightarrow H_n-1 < \log n < H_{n-1}$$ $$\Rightarrow -1 < -H_n+\log n < -H_n+H_{n-1}\Rightarrow -1 < -H_n+\log n < -\frac{1}{n}$$ $$\Rightarrow -1 < -a_n < -\frac{1}{n}\Rightarrow \frac{1}{n} < a_n < 1.$$ Esto demuestra que $0$ es cota inferior de $a_n$ y al ser monótona decreciente, tiene límite $\gamma \ge 0$. Por ser $a_n<1$, se verifica $\gamma\in[0,1]$.