Norma $p$-ádica en los racionales

Definimos la norma $p$-ádica en los racionales, y demostramos que no es arquimediana.

Enunciado
Si $p$ es un número primo $\ge 2$ se define la norma $p$-ádica en $\mathbb{Q}$ como $\left\|x\right\|_p=p^{-\text{ord}_{p} x}.$
Demostrar que $\left\|\;\right\|_p$ es una norma no arquimediana en $\mathbb{Q}$ es decir, que se verifican las propiedades
1. $\left\|x\right\|_p=0\Leftrightarrow x=0.$
2. $\left\|xy\right\|_p=\left\|x\right\|_p\left\|y\right\|_p\quad \forall x,y\in\mathbb{Q}.$
3. $\left\|x+y\right\|_p\le \max \left\{\left\|x\right\|_p\left\|y\right\|_p\right\}\quad \forall x,y\in\mathbb{Q}.$

Solución
1. Tenemos $\left\|0\right\|_p=p^{-\infty}=0$ y si $x\ne 0$ entonces $\text{ord}_{p} x$ es finito, luego $\left\|x\right\|_p=p^{-\text{ord}_{p} x}\ne 0.$
2. Usando la propiedad $\text{ord}_p(xy)=\text{ord}_px+\text{ord}_py.$ y para $xy\ne 0$ $$\left\|xy\right\|_p=p^{-\text{ord}_{p} xy}=p^{-(\text{ord}_px+\text{ord}_py)}=p^{-\text{ord}_px}p^{-\text{ord}_py}=\left\|x\right\|_p\left\|y\right\|_p.$$ Si $x=0$ o $y=0,$ la igualdad se verifica trivialmente.
3. Supongamos que $\text{ord}_px\le \text{ord}_py.$ Entonces, $$\text{ord}_px\le \text{ord}_py\Rightarrow -\text{ord}_px\ge -\text{ord}_py\Rightarrow p^{-\text{ord}_px}\ge p^{-\text{ord}_py}$$ $$\Rightarrow \max\{p^{-\text{ord}_px},p^{-\text{ord}_py}\}=p^{-\text{ord}_px}.$$ Usando la relación $\text{ord}_p(x+y)\ge \min\{\text{ord}_px,\text{ord}_py\}$ con igualdad si $\text{ord}_px\ne \text{ord}_py$, $$\left\|x+y\right\|_p=p^{-\text{ord}_p(x+y)}\le p^{-\min\{\text{ord}_px,\text{ord}_py\}}=p^{-\text{ord}_px}$$ $$=\max\{p^{-\text{ord}_px},p^{-\text{ord}_py}\}=\max \left\{\left\|x\right\|_p\left\|y\right\|_p\right\}.$$ Análogo razonamiento para $\text{ord}_py\le \text{ord}_px.$