Representación paramétrica regular

Definimos el concepto de representación paramétrica regular, damos ejemplos de aplicación y demostramos que localmente no existen puntos dobles.

Enunciado
Sea $I$ un intervalo de la recta real y $E=\mathbb{R}^2\text{ o }\mathbb{R}^3$. Se llama representación paramétrica regular a cualquier aplicación $$\mathbf{x}:I\to E,\quad t\to \mathbf{x}(t)$$ que satisface las condiciones $$\begin{aligned}
& (1)\quad \mathbf{x}\in \mathcal{C}^1(I).\\
&(2)\quad \mathbf{x}^{\prime}(t)\ne \mathbf{0}\quad \forall t\in I.
\end{aligned}$$
1. Demostrar que las siguientes aplicaciones son representaciones paramétricas regulares $$\begin{aligned}& (a)\quad \mathbf{x}:(-\infty,+\infty)\to \mathbb{R}^2,\quad \mathbf{x}(t)=(2t,1+t^2).\\
   & (b)\quad \mathbf{x}:(-\infty,+\infty)\to \mathbb{R}^3,\quad \mathbf{x}(t)=(1+\cos t,\sin t,2\sin (t/2)).
   \end{aligned}$$
2. Demostrar que si $\mathbf{x}$ es una representación paramétrica regular en el intervalo $I$ entonces, para todo $t_0\in I$ existe un entorno de $t_0$ en el cual $\mathbf{x}$ es inyectiva. Interpretar el resultado.

Solución
1. (a) Las funciones componentes de $\mathbf{x}$, $x_1(t)=2t$, $x_2(t)=1+t^2$ son claramente de clase $1$ en $(-\infty,+\infty),$ luego también lo es $\mathbf{x}$. Además, $\mathbf{x}^{\prime}(t)=(1,2t)\ne (0,0)$ para todo $t$.
   (b) Tenemos $\mathbf{x}^{\prime}(t)=(-\sin t,\cos t,\cos (t/2))$, luego $\mathbf{x}$ es de clase $1$ en $\mathbb{R}$. Por otra parte $$\left|\mathbf{x}^{\prime}(t)\right|=\sqrt{\sin ^2t+\cos^2t+\cos^2 (2t)}=\sqrt{1+\cos^2 (2t)}\ne 0\;\forall t\in\mathbb{R}$$ $$\Rightarrow \mathbf{x}^{\prime}(t)\ne (0,0,0)\;\;\forall t\in\mathbb{R}.$$
2. Como $\mathbf{x}$ es representación paramétrica regular, $\mathbf{x}^{\prime}(t_0)\ne \vec{0}$ con lo cual alguna de las componentes de $\mathbf{x}^{\prime}(t_0)$ ha de ser no nula, por ejemplo $x_1^{\prime}(t_0)\ne 0.$ Al ser $x_1^{\prime}$ continua en $t_0$, existe $\delta > 0$ tal que $$x_1^{\prime}(t)\ne 0\text{ si }t\in (t_0-\delta,t_0+\delta)=I_1.\qquad (*)$$ Veamos que $x_1$ es inyectiva en $I_1$. En efecto, si existieran $t_1 < t_2$ en $I_1$ tales que $x_1(t_1)=x_2(t_2)$, por el teorema de Rolle, $x_1^{\prime}(\xi)=0$ para algún $\xi\in (t_1,t_2)$ en contradicción con $(*)$. Por tanto $x_1$ es intectiva en $I_1$ y como consecuencia también lo es $\mathbf{x}$.
   Lo anterior prueba que en un entorno de $t_0$ no existen puntos dobles es decir, no ocurre $\mathbf{x}(t_1)=\mathbf{x}(t_2)$ si $t_1\ne t_2$.