Derivada aritmética y anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$

Derivada aritmética (menú)

Demostramos la imposibilidad de definir en general la derivada aritmética en anillos de factorización no única. Usamos como contraejemplo el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$.

Enunciado
1. Demostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]=\{a+b\sqrt{5}i:a,b\in\mathbb{Z}\}$ es dominio de integridad con las operaciones habituales suma y producto de complejos pero que no es dominio de factorización única
2. Demostrar que en $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ no se puede definir una derivada aritmética. Para ello, elegir diferentes conjuntos de átomos positivos.

Solución
1. Ver Dominio de integridad no euclídeo.
2. Veamos que para cualquier elección $\mathcal{P}$ de los átomos positivos, no se puede construir una derivada aritmética en $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$.
   Caso 1. Elijamos un conjunto $\mathcal{P}$ de átomos positivos que contiene a los elementos irreducibles $2,3,1+\sqrt{5}i,1-\sqrt{5}i$. Entonces, $$\begin{aligned}
   & 6=2\cdot 3\Rightarrow 6^\prime=2+3=5,\\
   & 6=(1+\sqrt{5}i)(1-\sqrt{5}i)\Rightarrow 6^\prime=(1+\sqrt{5}i)+(1-\sqrt{5}i)=2.
   \end{aligned}$$ Caso 2. Si $\mathcal{P}$ contiene a los elementos irreducibles $-2,3,1+\sqrt{5}i,1-\sqrt{5}i$,
   $$\begin{aligned}
   & 6=(-1)\cdot (-2)\cdot 3\Rightarrow 6^\prime=(-1)\left((-2)+3\right)=-1,\\
   & 6=(1+\sqrt{5}i)(1-\sqrt{5}i)\Rightarrow 6^\prime=(1+\sqrt{5}i)+(1-\sqrt{5}i)=2.
   \end{aligned}$$ Caso 3. Si $\mathcal{P}$ contiene a los elementos irreducibles $2,-3,1+\sqrt{5}i,1-\sqrt{5}i$,
   $$\begin{aligned}
   & 6=(-1)\cdot 2\cdot (-3)\Rightarrow 6^\prime=(-1)\left(2+(-3)\right)=1,\\
   & 6=(1+\sqrt{5}i)(1-\sqrt{5}i)\Rightarrow 6^\prime=(1+\sqrt{5}i)+(1-\sqrt{5}i)=2.
   \end{aligned}$$ Caso 4. Si $\mathcal{P}$ contiene a los elementos irreducibles $-2,-3,1+\sqrt{5}i,1-\sqrt{5}i$,
   $$\begin{aligned}
   & 6=(-2)\cdot (-3)\Rightarrow 6^\prime=(-2)+(-3)=-5,\\
   & 6=(1+\sqrt{5}i)(1-\sqrt{5}i)\Rightarrow 6^\prime=(1+\sqrt{5}i)+(1-\sqrt{5}i)=2.
   \end{aligned}$$ Caso 5. Si $\mathcal{P}$ contiene a los elementos irreducibles $-2,-3,1+\sqrt{5}i,-1+\sqrt{5}i$,
   $$\begin{aligned}
   & 6 =2\cdot 3\Rightarrow 6^\prime= 2+3=5,\\
   & 6 =(-1)\cdot(1+\sqrt{5}i)(-1+\sqrt{5}i) \Rightarrow\\
   & 6^\prime=(-1)\left((1+\sqrt{5}i)+(-1+\sqrt{5}i)\right)=-2\sqrt{5}i.
   \end{aligned}$$ En todos los casos anteriores la derivada no está bien definida, y de manera análoga podemos verificar los restantes casos.