Operador de Sturm-Liouville

Estudiamos el operador de Sturm-Liouville.

Enunciado
Sea $C[a,b]$ el espacio vectorial de las funciones reales continuas en $[a,b]$ y $p\in C[a,b]$ fijo. Sea $C^2[a,b]$ el espacio vectorial de las funciones reales de clase $2$ en $[a,b]$. Se define el conjunto: $$E=\{f\in C^2[a,b]:p(a)f(a)=0 \;\wedge \;p(b)f(b)=0\}.$$
1. Demostrar que $E$ es un subespacio vectorial de $C[a,b].$
2. Si $q\in C[a,b]$ fijo se define la aplicación $T:E\to C[a,b]$ de la forma $$T(f)=\left(pf^\prime\right)^\prime+qf.$$ Demostrar que $T$ es lineal (se la llama operador de Sturm-Liouville).
3. Se considera en $C[a,b]$ el producto escalar $\langle h_1,h_2\rangle=\int_a^bh_1h_2dx.$ Demostrar que $$\langle T(f),g\rangle=\langle f,T(g)\rangle\quad \forall f,g\in E$$ es decir, el operador de Sturm-Liouville es simétrico.
4. Sean $\lambda$ y $\mu$ autovalores de $T$ con correspondientes autofunciones $f$ y $g$. Demostrar que si $\lambda\ne \mu$, las autofunciones $f$ y $g$ son ortogonales.

Solución
1. Claramente $E\subset C[a,b]$. La función nula $0$ es de clase $2$ y satisface $p(a)\cdot 0(a)=p(b)\cdot 0(b)=0$, luego $0\in E$. Si $\alpha_1,\alpha_2\in \mathbb{R}$ y $f_1,f_2\in E$ entonces $\alpha_1f_1+\alpha_2f_2$ es de clase dos en $[a,b]$ y $$p(a)\left(\alpha_1f_1+\alpha_2f_2\right)(a)=p(a)\left(\alpha_1f_1(a)+\alpha_2f_2(a)\right)$$ $$=\alpha_1p(a)f_1(a)+\alpha_2p(a)f_2(a)=\alpha_1\cdot 0+\alpha_2\cdot 0=0$$ y análogamente cambiando $b$ por $a$, luego $\alpha_1f_1+\alpha_2f_2\in E$, y $E$ es subespacio de $C[a,b].$
2. La aplicación está bien definida pues para todo $f\in E$, la aplicación $T(f)$ es continua en $[a,b]$. Si $\alpha_1,\alpha_2\in \mathbb{R}$ y $f_1,f_2\in E$ entonces $$T\left(\alpha_1f_1+\alpha_2f_2\right)=\left(p\left(\alpha_1f_1+\alpha_2f_2\right)^\prime\right)^\prime+q\left(\alpha_1f_1+\alpha_2f_2\right)$$ $$=\left(p\left(\alpha_1f_1^\prime+\alpha_2f_2^\prime\right)\right)^\prime+\alpha_1(qf_1)+\alpha_2(qf_2)$$ $$=\left(\alpha_1\left(pf_1^\prime\right)+\alpha_2\left(pf_2^\prime\right)\right)^\prime+\alpha_1(qf_1)+\alpha_2(qf_2)$$ $$=\alpha_1\left(pf_1^\prime\right)^\prime+\alpha_2\left(pf_2^\prime\right)^\prime+\alpha_1(qf_1)+\alpha_2(qf_2)$$ $$=\alpha_1\left(\left(pf_1^\prime\right)^\prime+qf_1\right)+\alpha_2\left(\left(pf_2^\prime\right)^\prime+qf_2\right)$$ $$=\alpha_1T(f_1)+\alpha_2T(f_2)$$ luego $T$ es lineal
3. Tenemos por una parte $$\langle T(f),g\rangle=\int_a^b T(f)g\;dx=\int_a^b \left(\left(pf^\prime\right)^\prime+qf\right)g\;dx$$ $$=\int_a^b\left(pf^\prime\right)^\prime g\;dx+\int_a^bqfg\;dx.$$ Aplicando integración por partes a la primera integral con $u=g$, $dv=\left(pf^\prime\right)^\prime$ obtenemos $du=g^\prime dx$ y $v=pf^\prime$, con lo cual $$\langle T(f),g\rangle=\left[gpf^\prime\right]_a^b-\int_a^bpf^\prime g^\prime dx+\int_a^bqfg\;dx.$$ Procediendo de la misma manera obtenemos $$\langle f,T(g)\rangle=\left[fpg^\prime\right]_a^b-\int_a^bpg^\prime f^\prime dx+\int_a^bfqg\;dx.$$ Queda entonces $\langle T(f),g\rangle-\langle f,T(g)\rangle=\left[gpf^\prime-fpg^\prime\right]_a^b.$ Pero al ser $f$ y $g$ funciones de $E$ se verifica $p(a)f(a)=p(b)f(b)=p(a)g(a)=p(b)g(b)=0$ con lo cual $\langle T(f),g\rangle-\langle f,T(g)\rangle=0$ y la propiedad queda demostrada.
4. Dado que el operador de Sturm-Liouville $T$ satisface $\langle T(f),g\rangle=\langle f,T(g)\rangle$, tenemos $\langle \lambda f,g\rangle=\langle f,\mu g\rangle$ o bien $\lambda\langle f,g\rangle=\mu\langle f, g\rangle$ o bien $(\lambda-\mu)\langle f, g\rangle=0.$ Al ser $\lambda-\mu\ne 0$, queda $\langle f, g\rangle=0.$

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