Inverso en un cuerpo de ruptura

Proporcionamos un método para hallar el inverso de cualquier elemento en un cuerpo de ruptura.

1. Método. Sea $k(\xi)$ cuerpo de ruptura de un polinomio $f(x)\in k[x].$ Si $\beta\in k(\xi)$ podemos expresar $\beta$ en la forma $\beta=g(\xi)$ con $g(x)\in k[x]$ y $\text{grad }g(x) < \text{grad }f(x)$. Por la igualdad de Bezout, existen $A(x),B(x)\in k[x]$ tales que $$A(x)f(x)+B(x)g(x)=D(x),\quad D(x)=\text{mcd }\{f(x),g(x)\}.$$ Pero $f(x)$ es irreducible y $\text{grad }g(x) < \text{grad }f(x)$, por tanto $D(x)=1.$ Sustituyendo $x$ por $\xi$ y teniendo en cuenta que $f(\xi)=0$ queda $B(\xi)g(\xi)=1.$ Es decir, $\beta^{-1}=B(\xi).$
2. Ejemplo. Sea $f(x)=x^3-3x-1\in \mathbb{Q}[x].$ Sus únicas posibles raíces racionales son $\pm 1$ pero $f(1)\ne 0$ y $f(-1)\ne 0$ y al ser de tercer grado, es irreducible en $\mathbb{Q}.$ Sea $\mathbb{Q}(\xi)$ cuerpo de ruptura de $f(x)$ y vamos a hallar el inverso del elemento $$\beta=\xi^4+2\xi^3+3\in \mathbb{Q}(\xi).$$ Dividiendo $x^4+2x^3+3$ entre $f(x)$ obtenemos como resto $g(x)=3x^2+7x+5$ con lo cual $\beta=3\xi^2+7\xi+5.$ Tenemos $\text{mcd }\{f(x),g(x)\}=1$ y aplicando el algoritmo de Euclides, obtenemos la igualdad de Bezout $$\left(-\frac{7}{37}x+\frac{29}{111}\right)f(x)+\left(\frac{7}{111}x^2-\frac{26}{111}x+\frac{28}{111}\right)g(x)=1,$$ por tanto $\beta^{-1}=(7/111)\xi^2-(26/111)\xi+28/111.$
3. Ejemplo. Podemos trabajar directamente en vez de usar el método anterior. Por ejemplo, el polinomio $p(x)=x^3+9x+6$ es irreducible en $\mathbb{Q}\left[x\right]$. Sea $\xi$ una raiz de $p(x)$. Hallemos el inverso de $1+\xi$ en $\mathbb{Q}(\xi)$. Todo elemento de $\mathbb{Q}(\xi)$ es de la forma $a+b\xi + c\xi^2$ con $a,b,c\in \mathbb{Q}$. Multiplicando $(1+\xi)(a+b\xi + c\xi^2)$ y hallando el resto de la división entre $\xi^3+9\xi +6$ obtenemos que la expresión del producto anterior en la base $B=\{1,\xi,\xi^2\}$ de $\mathbb{Q}(\xi)$ sobre $\mathbb{Q}$ es $a-6c+(a+b-9c)\xi +(b+c)\xi^2$. Igualando a $1$ e identificando coeficientes, obtenemos $a=5/2$, $b=-1/4$, $c=1/4$ por tanto, $(1+\xi)^{-1}=5/2-(1/4)\xi+(1/4)\xi^2$.