Producto de cardinales

Definimos el producto de cardinales y demostramos algunas de sus propiedades.

Deinición. Sean $\mathfrak{a}=|A|$, y $\mathfrak{b}=|B|$ dos cardinales. Se define su producto como $\mathfrak{a}\mathfrak{b}=|A\times B|$.

La operación está bien definida pues si $\mathfrak{a}=|A_1|$ y $\mathfrak{b}=|B_1|$ entonces existen biyecciones $f:A\to A_1$, $g:B\to B_1$ y la aplicación $f\times g:A\times B\to A_1\times B_1$ dada por $(f\times g)(a,b)=(f(a),g(b))$ es claramente biyectiva. Es decir, $|A\times B|=|A_1\times B_1|$.
La definición anterior generaliza para cardinales cualesquiera el conocido concepto producto de cardinales finitos.

Ejemplo. Tenemos $2=|\{a,b\}|$, $3=|\{c,d,e\}|$. Entonces, $$2\cdot 3=|\{a,b\}\times \{c,d,e\}|=|\{(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)\}|=6.$$
Teorema. Para todo $\mathfrak{a},\mathfrak{b}, \mathfrak{d}$ cardinales se verifica
(1) $\mathfrak{a}\mathfrak{b}=\mathfrak{b}\mathfrak{a}$.
(2) $\mathfrak{a}(\mathfrak{b}\mathfrak{d})=(\mathfrak{a}\mathfrak{b})\mathfrak{d}$.
(3) $1\mathfrak{a}=\mathfrak{a}.$
(4) $\mathfrak{a}(\mathfrak{b}+\mathfrak{d})=\mathfrak{a}\mathfrak{b}+\mathfrak{a}\mathfrak{d}$
(5) Si $\mathfrak{a}_1, \mathfrak{a}_2, \mathfrak{b}_1, \mathfrak{b}_2$ son cardinales, $\mathfrak{a}_1 \le \mathfrak{a}_2 \wedge \mathfrak{b}_1 \le \mathfrak{b}_2\Rightarrow\mathfrak{a}_1\mathfrak{b}_1 \le \mathfrak{a}_2\mathfrak{b}_2.$
(6) $\aleph_0\aleph_0=\aleph_0$.

Demostración.
(1) Sean $\mathfrak{a}=|A|$ y $\mathfrak{b}=|B|$. La aplicación $f:A\times B\to B\times A$ dada por $f(a,b)=(b,a)$ es claramente biyectiva, por tanto $\mathfrak{a}\mathfrak{b}=|A\times B|=|B\times A|=\mathfrak{b}\mathfrak{a}.$

(2) Sean $\mathfrak{a}=|A|$, $\mathfrak{b}=|B|$, $\mathfrak{d}=|D|$. La aplicación $f:A\times (B\times D)\to (A\times B)\times D$ dada por $f(a, (b,d))=((a,b),d)$ es claramente biyectiva. Entonces, $$\begin{aligned}\mathfrak{a}(\mathfrak{b}\mathfrak{d})&=|A||B\times D|=|A\times (B\times D)|\\&=|(A\times B)\times D|=|A\times B||D|=(\mathfrak{a}\mathfrak{b})\mathfrak{d}.\end{aligned}$$

(3) Sean $\mathfrak{a}=|A|$ y $1=|\{0\}|$. La aplicación $f:\{0\}\times A\to A$ dada por $f(0,a)=a$ es biyectiva, por tanto $1\mathfrak{a}=|\{0\}\times A|=|A|=\mathfrak{a}.$

(4) Sean $\mathfrak{a}=|A|$, $\mathfrak{b}=|B|$, $\mathfrak{d}=|D|$ con $B\cap D=\emptyset$. Sabemos que $A\times (B\cup D)=(A\times B)\cup (A\times D)$, y de la condición $B\cap D=\emptyset$ se deduce $(A\times B)\cap (A\times D)=\emptyset$. Por tanto, $$\begin{aligned}\mathfrak{a}(\mathfrak{b}+\mathfrak{d})&=|A||B\cup D|=|A\times (B\cup D)|=|(A\times B)\cup (A\times D)|\\ &=|A\times B|+|A\times D|=\mathfrak{a}\mathfrak{b}+\mathfrak{a}\mathfrak{d}.\end{aligned}$$

(5) Sean $\mathfrak{a}_1=|A_1|$, $\mathfrak{a}_2=|A_2|$, $\mathfrak{b}_1=|B_1|$, $\mathfrak{b}_2=|B_2|$. Como $\mathfrak{a}_1 \le \mathfrak{a}_2$ y $\mathfrak{b}_1 \le \mathfrak{b}_2$, existen aplcaciones inyectivas $f:A_1\to A_2$ y $g:B_1\to B_2$. Entonces, la aplicación $f\times g :A_1\times B_1\to A_2\times B_2$ dada por $(f\times g) (a,b))=(f(a),f(b))$ es inyectiva. Por tanto, $\mathfrak{a}_1\mathfrak{b}_1=|A_1\times B_1|\le |A_2\times B_2|=\mathfrak{a}_2\mathfrak{b}_2.$
(6) Sabemos que $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ es numerable por tanto, $\aleph_0\aleph_0=|\mathbb{N}\times \mathbb{N}|=\aleph_0$. $\quad\square$

De la propiedad $\aleph_0\aleph_0=\aleph_0$ se deduce que existen cardinales infinitos no regulares para el producto. En efecto, $\aleph_0\aleph_0=1\aleph_0$ y sin embargo, $\aleph_0\ne 1$.