Caracterización de límites de funciones en espacios métricos por sucesiones

RESUMEN. Demostramos el teorema de caracterización de límites de funciones en espacios métricos por sucesiones.

Teorema.
Sean $(X,d)$ un espacio métrico, $A\subset X$, $f:A\to X$ una función, $a$ un punto de acumulación de $A$ y $b\in X.$ Entonces,
$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b\Leftrightarrow $ para toda sucesión $(x_n)$ en $A$ con $x_n\ne a$ para todo $n$ y $(x_n)\to a,$ se verifica $\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(x_n)=b.$

Demostración.
$\Rightarrow )$ Sea $(x_n)$ sucesión en $A$ con $x_n\ne a$ para todo $n$ y $(x_n)\to a.$ Por hipótesis $\lim_{x\to a}f(x)=b,$ luego para todo $\epsilon > 0$ existe $\delta >0$ con $d(f(x),b) < \epsilon $ si $0 < d(x,a) < \delta$ y $x\in A.$
Dado que $(x_n)\to a,$ existe $n_0$ natural tal que $0 < d(x_n,a) < \delta $ para todo $n\ge n_0.$ Entonces, $d(f(x_n),b) < \epsilon$ si $n\ge n_0,$ por tanto $f(x_n)\to b$ si $n\to \infty.$

$\Leftarrow)$ Por reducción al absurdo. Si $b$ no es el $\lim_{x\to a}f(x),$ entonces existe un $\epsilon_0 > 0$ tal que para todo $\delta > 0$ hay un punto $x\in A$ con $0 < d(x,a) < \delta $ y $d(f(x),b)\ge \epsilon_0.$ En consecuencia, para todo natural $n$ existe $x_n\in A$ tal que $$0 < d(x_n,a) < \frac{1}{n}\;\;\text{ y }\;\;d(f(x_n),b)\ge \epsilon_0.$$ Entonces, $x_n\ne a$ para todo $n,$ $x_n\to a$ y $f(x_n)\not\to b$ (absurdo).