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Archivo de la categoría: Álgebra
Vértices de un triángulo equilátero
Enunciado Sean $z_1 , z_2, z_3$ tres números complejos tales que $$\left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right |\text{ y }z_1+z_2+z_3=0.$$ Demostrar que son los vértices de un triángulo equilátero. Solución Sean $\left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right |=a>0.$ Tenemos $$z_1+z_2=-z_3\Rightarrow … Sigue leyendo
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Etiquetado equilátero, triángulo, vértices
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Inversa de la transformación de Möbius
RESUMEN. Demostramos que toda transformación de Möbius es aplicación biyectiva y determinamos su inversa. Enunciado Sea $\mathbb C_{\infty}=\mathbb C \cup {\infty}$ el plano complejo ampliado. Se llama transformación de Mobius a cualquier función $T:\mathbb{C}_\infty\to\mathbb{C}_\infty$ definida por $$T(z)=\frac{az+b}{cz+d} \text{ con } … Sigue leyendo
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Etiquetado inversa, Möbius, transformación
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Endomorfismo complejo con matriz normal
Enunciado En $\mathbb{C}^3$ se considera el producto escalar usual y el endomorfismo cuya matriz en la base canónica de $\mathbb{C}^3$ es $$A=\begin{pmatrix}{0}&{2/3}&{-2/3}\\{-2/3}&{0}&{-1/3}\\{2/3}&{1/3}&{0}\end{pmatrix}$$ a) Hallar una base del núcleo y de la imagen de $f$. ¿Es $A$ normal? b) Hallar una … Sigue leyendo
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Etiquetado complejo, endomorfismo, matriz, normal
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Ecuación $x^3-x+2=0$ en los complejos
Enunciado Resolver en $\mathbb{C}$ la ecuación $x^3-x+2=0.$ Solución Es ecuación del tipo $x^3+px+q=0\text{ con } p,q\in\mathbb{C}$ cuyas soluciones sabemos que son $$x=\underbrace{\sqrt [3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}_{\alpha}+\underbrace{\sqrt [3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}_{\beta}$$ siempre y cuaando $\alpha\beta=-p/3.$ En nuestro caso $p=-1, q=2$ con lo cual $$x=\displaystyle\underbrace{\sqrt [3]{-1+\sqrt{\frac{26}{27}}}}_{\alpha}+\underbrace{\sqrt [3]{-1-\sqrt{\frac{26}{27}}}}_{\beta}.$$ Eligiendo … Sigue leyendo
Partes del producto y producto de las partes
RESUMEN. Determinamos los cardinales de las partes del producto y del producto de las partes para conjuntos finitos. Enunciado Sean $A$ y $B$ dos conjuntos finitos de cardinales $|A|=n$ y $|B|=m.$ (a) Determinar los cardinales de las partes del producto … Sigue leyendo
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Etiquetado partes del produco, producto de las partes
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