Archivo de la categoría: Análisis real y complejo

Teorema fundamental del Álgebra

RESUMEN. Demostramos el teorema fundamental del Álgebra. Teorema fundamental del Álgebra (1) Todo polinomio $p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots a_1z+ a_0\in\mathbb{C}[z]$ con $n \ge 1$ y $a_n\ne 0$ tiene al menos una raíz compleja. (2) Corolario. Todo polinomio $p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots a_1z+ a_0\in\mathbb{C}[z]$ con $n \ge … Sigue leyendo

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Parte principal de la serie de Laurent de $1/\sin^2z$ en $\pi < |z| < 2\pi$

RESUMEN. Determinamos todos los coeficientes $c_n$ $(n < 0)$ del desarrollo en serie de Laurent de la función $1/\sin^2z$ en la corona $\pi < |z| < 2\pi$. Enunciado Sea $\displaystyle\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_nz^n$ el desarrollo de Laurent de $f(z)=\dfrac{1}{\sin^2 z}$ … Sigue leyendo

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Ceros complejos de las funciones seno y coseno

RESUMEN. Demostramos que los ceros complejos las funciones seno y coseno son los mismo que los ceros reales. Enunciado Determinar los ceros en $\mathbb{C}$ de las funciones seno y coseno complejos. Solución Tenemos $$\sin z=0\Leftrightarrow \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=0\Leftrightarrow e^{iz}-\frac{1}{e^{iz}}=0\Leftrightarrow e^{2iz}=1$$ $$\Leftrightarrow e^{2i(x+iy)}=1\Leftrightarrow … Sigue leyendo

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Serie de Taylor por división en potencias crecientes

RESUMEN. Usamos la división en potencias crecientes para estudiar una serie de Taylor. Enunciado Se considera la función de variable compleja $$f\left(z\right)=\dfrac{z^2}{\left(\sin^2 z\right)\cos z}.$$ (a) Hallar sus singularidades. (b) Demostrar que $z=0$ es singularidad evitable de $f.$ (c) Determinar el … Sigue leyendo

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Relación de Fibonacci $f_{2n+1}=f_n^2+f_{n+1}^2$

RESUMEN. Demostramos la relación de Fibonacci $f_{2n+1}=f_n^2+f_{n+1}^2$. Enunciado Se considera la sucesión de Fibonacci $$f_0=0,f_1=1,f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\;(n\ge 2).$$ Sea la matriz $$A=\left[\begin{array}{cc}1&1 \\ 1&0\end{array}\right].$$ (a) Demostrar por inducción que $$\left[\begin{array}{cc}f_{n+1}&f_n \\ f_n&f_{n-1}\end{array}\right]=A^n\;(\forall n\ge1).$$ (b) Demostrar que $f_{2n+1}=f_n^2+f_{n+1}^2\; (\forall{n\geq{1}}).$ Solución (a) Para $n=1$ … Sigue leyendo

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