Archivo de la categoría: Análisis real y complejo

Desigualdad con logaritmos

RESUMEN. Demostramos una desigualdad con logaritmos. Enunciado Hallar el máximo absoluto de la función $$f:(0,+\infty)\to \mathbb R,\quad f(t)=\frac{\log t}{t}.$$ Demostrar la desigualdad $$-ae \log x\le x^{-a},\;\; (\forall x > 0 ,\; \forall a\in\mathbb R).$$ Solución Derivando, $$f(t)=\frac{\dfrac{1}{t}t-1\log t}{t^2}=\frac{1-\log t}{t^2}=0\Leftrightarrow 1-\log … Sigue leyendo

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Determinación de una transformación de Möbius

RESUMEN. Demostramos que toda transformación de Möbius queda determinada conociendo los transformados de una terna de elementos distintos de $\mathbb{C}_\infty$ en otra terna de elementos distintos de $\mathbb{C}_\infty.$ Enunciado Demostrar que si una transformación de Möbius deja fijos los puntos … Sigue leyendo

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Transformaciones de Möbius elementales

RESUMEN. Demostramos que toda transformación de Möbius es composición de transformaciones de Möbius elementales. Sean la transformaciones $$ \text{(i) Traslaciones. } z\mapsto a+z, (a\in\mathbb C)\quad \text{(ii) Giros. } z\mapsto e^{i\alpha}z, (\alpha \in \mathbb R)$$ $$\begin{aligned}& \text{(iii) Dilataciones. } z\mapsto rz, … Sigue leyendo

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Isomorfismo entre el grupo de Möbius y $\text{GL}_2(\mathbb{C})/Z$

RESUMEN. Demostramos que el grupo de las transformaciones de Möbius es isomorfo al grupo lineal complejo de orden 2 sobre su centro. Enunciado Sea $\text{GL}_2(\mathbb{C})$ el grupo lineal de las matrices cuadradas complejas de orden $2$ y $\mathcal{M}$ el grupo … Sigue leyendo

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Grupo de las transformaciones de Möbius

RESUMEN. Demostramos las transformaciones de Möbius forman un grupo con la operación composición. Si $T=\dfrac{az+b}{cz+d}$ es una transformación de Möbius, denominamos a la matriz $$M_T=\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}$$ matriz asociada $T$ y claramente $\det M_T\ne 0.$ Enunciado (1) Sean $T_1$ y $T_2$ dos … Sigue leyendo

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