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Archivo de la categoría: Análisis real y complejo
Puntos de inflexión que yacen en una curva
Enunciado Demostrar que los puntos de inflexión de la curva de ecuación $y=\dfrac{\sin x}{x}$ yacen en la curva $y^2(x^4 + 4) = 4.$ Solución La derivada segunda de $y$ es $$y^{\prime\prime}=\ldots=-\displaystyle\frac{(x^2-2)\sin x +2x\cos x}{x^3}.$$ Para que exista punto de inflexión … Sigue leyendo
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Etiquetado curva, inflexión, puntos, yacen
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Extremos de $f(x,y)=x^3+y^3$ sobre una elipse
Enunciado Determinar los extremos de la función $$f(x,y)=x^3+y^3$$ sobre la elipse $$E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x^2+y^2+ x+y=xy\}$$ Solución Veremos tres métodos distintos. Método 1. Multiplicadores de Lagrange Podemos escribir $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$. En consecuencia en $E$ se verifica $f(x,y)=(x+y)(-x-y)=-(x+y)^2.$ Se trata pues de hallar los … Sigue leyendo
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Etiquetado elipse, extremos, x^3+y^3
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Desigualdad con logaritmos
RESUMEN. Demostramos una desigualdad con logaritmos. Enunciado Hallar el máximo absoluto de la función $$f:(0,+\infty)\to \mathbb R,\quad f(t)=\frac{\log t}{t}.$$ Demostrar la desigualdad $$-ae \log x\le x^{-a},\;\; (\forall x > 0 ,\; \forall a\in\mathbb R).$$ Solución Derivando, $$f(t)=\frac{\dfrac{1}{t}t-1\log t}{t^2}=\frac{1-\log t}{t^2}=0\Leftrightarrow 1-\log … Sigue leyendo
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Determinación de una transformación de Möbius
RESUMEN. Demostramos que toda transformación de Möbius queda determinada conociendo los transformados de una terna de elementos distintos de $\mathbb{C}_\infty$ en otra terna de elementos distintos de $\mathbb{C}_\infty.$ Enunciado Demostrar que si una transformación de Möbius deja fijos los puntos … Sigue leyendo
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Transformaciones de Möbius elementales
RESUMEN. Demostramos que toda transformación de Möbius es composición de transformaciones de Möbius elementales. Sean la transformaciones $$ \text{(i) Traslaciones. } z\mapsto a+z, (a\in\mathbb C)\quad \text{(ii) Giros. } z\mapsto e^{i\alpha}z, (\alpha \in \mathbb R)$$ $$\begin{aligned}& \text{(iii) Dilataciones. } z\mapsto rz, … Sigue leyendo
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