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Archivo de la categoría: Ecuaciones diferenciales
Edo $y^{\prime\prime}=x(y^\prime)^3$
RESUMEN. Resolvemos una ecuación diferencial de segundo orden. Enunciado Resolver la ecuación diferencial de segundo orden $y^{\prime\prime}=x(y^\prime)^3.$ Solución Denotando $p=y^\prime$ queda $p^\prime=xp^3$ o bien $dp/dx=xp^3$ o bien $dp/p^3=xdx$, ecuación de variables separadas. Integrando $$\int \frac{dp}{p^3}=\int xdx,\quad -\frac{1}{p^2}=\frac{x^2}{2}+C,$$ $$-\frac{1}{p^2}=x^2+C,\quad p^2=\frac{1}{-x^2-C},$$ $$p=\frac{1}{\sqrt{C_1-x^2}},\quad … Sigue leyendo
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Plano de fases de $x^\prime=x,y^\prime=y^2$
RESUMEN. Esbozamos el plano de fases de un sistema diferencial autónomo. Enunciado Se considera el sistema diferencial autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x^\prime=x\\y^\prime=y^2\end{matrix}\right.$$ (1) Determinar sus soluciones. (2) Esbozar el plano de fases asociado al sistema. Solución (1) Las ecuaciones del … Sigue leyendo
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Ecuación homogénea en función de cuadraturas
RESUMEN. Resolvemos una ecuación homogénea dejando la solución en términos de cuadraturas. Enunciado Resolver la ecuación diferencial $$x dy+\left[x \sec \left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)+y\right]dx =0.$$ Solución Llamando $Q(x,y)=x$, $P(x,y)=x \sec \left(y/x\right)+y,$ $$\begin{aligned}& Q(tx,ty)=tx=tQ(x,y),\\ &P(tx,ty)=(tx) \sec \left(\displaystyle\frac{ty}{tx}\right)+ty=t\left[x \sec \left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)+y\right]=tP(x,y). \end{aligned}$$ Es decir, las funciones … Sigue leyendo
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Ecuación en diferencias completa
RESUMEN. Proporcionamos un método para la resolución de la ecuación en diferencias completa. Recordamos que una ecuación en diferencias lineal de orden $k$ con coeficientes constantes es una expresión de la forma $$x_{n+k}+a_1x_{n+k-1}+\ldots +a_{k-1}x_{n+1}+a_kx_n=b(n)$$ en donde $a_1,a_2,\ldots,a_k$ son números reales … Sigue leyendo
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Ecuación en diferencias homogénea
RESUMEN. Proporcionamos un método para la resolución de la ecuación en diferencias homogénea. Definición. Se llama ecuación en diferencias lineal de orden $k$ con coeficientes constantes a toda expresión de la forma $$x_{n+k}+a_1x_{n+k-1}+\ldots +a_{k-1}x_{n+1}+a_kx_n=b(n)\qquad (1)$$ en donde $a_1,a_2,\ldots,a_k$ son números … Sigue leyendo
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