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Archivo de la categoría: Ecuaciones diferenciales
Sistema diferencial dependiente de un parámetro
Hallamos la solución general de un sistema diferencial dependiente de un parámetro. Enunciado Resolver el sistema diferencial $$\begin{cases}{x^{\prime}}=cx+y+2\\{y^{\prime}}=-c^2x-cy+1 \end{cases}\quad (c\in\mathbb{R}).$$ Solución En forma matricial, $$\begin{bmatrix}{x^\prime}\\{y^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{c}&{1}\\{-c^2}&{-c}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x}\\{y}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{2}\\{1}\end{bmatrix}.$$ Hallemos la forma de Jordan de la matriz $A=\begin{bmatrix}{c}&{1}\\{-c^2}&{-c}\end{bmatrix}.$ El polinomio característico de $A$ es … Sigue leyendo
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Etiquetado dependiente, diferencial, parámetro, sistema
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Variación de las constantes para $x^{\prime\prime} +P(t)x^\prime+Q(t)x=\cos t$
Aplicamos el método de variación de las constantes a una ecuación de segundo orden conociendo dos soluciones de la homogénea. Enunciado Si la ecuación diferencial $x^{\prime\prime} +P(t)x^\prime+Q(t)x=0$ tiene como soluciones $\varphi_1(t)=\sin^2 t$ y $\varphi_2(t)=\sin t$, encontrar una solución particular de … Sigue leyendo
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Etiquetado $x^{\prime\prime} +P(t)x^\prime+Q(t)x=\cos t$., constantes, variación
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Ecuación de Verhulst
Resolvemos la ecuación de Verhulst. Definición. A la ecuación diferencial $$\frac{dP}{dt}=rP\left(1 – \frac{P}{K}\right)$$ se la llama ecuación de Verhulst. $P$ es la variable depenciente (población), $t$ la independiente (tiempo), $r$ es el coeficiente de la razón de crecimiento de la … Sigue leyendo
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EDO por cambio de variable independiente
Resolvemos una EDO de segundo orden por medio de un cambio de variable independiente. Enunciado Para $0 < x <1$ consideremos la ecuación diferencial $$x(1-x^2)^2y^{\prime\prime}-(1-x^2)^2y^\prime+5x^3y=0.$$ Resolverla usando el cambio de variable independiente $t=-\dfrac12\ln(1-x^2).$ Solución Para $0 < x < 1$ … Sigue leyendo
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Ecuación de Legendre
Estudiamos la ecuación de Legendre. Enunciado Se llama ecuación de Legendre a la ecuación diferencial $$(1-x^2)y^{\prime\prime}-2xy^\prime +\alpha(\alpha+1)y=0\qquad (L)$$ con $\alpha$ real. Demostrar que la ecuación de Legendre se puede escribir en la forma $$\left((x^2-1)y^\prime\right)^\prime=\alpha (\alpha+1)y.$$ Demostrar que la ecuación de … Sigue leyendo
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