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Archivo de la categoría: Miscelánea matemática
Ecuación funcional $f(x+y)=f(x)f(y)$
Enunciados Se considera la ecuación funcional $$f:\mathbb R\to \mathbb R,\; f(x+y)=f(x)f(y)\qquad (E)$$ Demostrar que la función idénticamente nula es solución de $(E)$. Consideremos en lo sucesivo que $f$ es solución no idénticamente nula de la ecuación funcional $(E).$ Demostrar que … Sigue leyendo
Publicado en Miscelánea matemática
Etiquetado $f(x+y=f(x)f(y)$, ecuación, funcional
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Ecuación funcional de Cauchy
RESUMEN. Estudiamos la ecuación funcional de Cauchy. Enunciados Se dice que una función $f:\mathbb R\to \mathbb R$ cumple la ecuación de Cauchy si satisface la ecuación funcional $$f(x+y)=f(x)+f(y),\;\forall x,y\in\mathbb R.$$ Demostrar que si $c\in\mathbb R$ la función $f:\mathbb R\to \mathbb … Sigue leyendo
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Etiquetado Cauchy, ecuación, funcional
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Cálculo de una raíz de forma heurística.
RESUMEN. Calculamos $\sqrt{4444222225}$ de forma heurística. Enunciado Calcular $\sqrt{4444222225}$. Solución Tenemos $$\sqrt{4444222225}=\sqrt{4444000000+222225}=\sqrt{4444000000+222220+5}$$ $$=\sqrt{4444\cdot10^6+22222\cdot10+5}=\sqrt{4\cdot1111\cdot 10^6+2\cdot11111\cdot10+5}$$ $$=\sqrt{4\cdot\dfrac{9999}{9}\cdot 10^6+2\cdot\dfrac{99999}{9}\cdot 10+5}$$ $$=\sqrt{4\cdot\dfrac{10^4-1}{9}\cdot 10^6+2\cdot\dfrac{10^5-1}{9}\cdot 10+5}$$ $$=\sqrt{4\cdot\dfrac{(10^4-1)\cdot 10^6}{9}+2\cdot\dfrac{(10^5-1)\cdot 10}{9}+\dfrac{45}{9}}$$ $$=\sqrt{\dfrac{4(10^{10}-10^6)}{9}+\dfrac{2(10^6-10)}{9}+\dfrac{45}{9}}$$ $$=\sqrt{\dfrac{4\cdot 10^{10}-4\cdot10^6}{9}+\dfrac{2\cdot 10^6-20}{9}+\dfrac{45}{9}}$$ $$=\sqrt{\dfrac{4\cdot 10^{10}-2\cdot 10^6+25}{9}}$$ $$=\dfrac{\sqrt{2^2\cdot {(10^5)}^2-2\cdot 10^5\cdot 10+25}}{3}$$ $$=\dfrac{\sqrt{{(2\cdot 10^5)}^2-(2\cdot 10^5)\cdot 10+25}}{3}$$ $$=\dfrac{\sqrt{{(2\cdot 10^5)}^2-2\cdot … Sigue leyendo
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Etiquetado cálculo, forma herística, raíz
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Concepto de conjunto compacto
RESUMEN. Proporcionamos problemas sobre el concepto de conjunto compacto. Recordamos que un subconjunto $A$ de un espacio topológico $X$ se dice que es compacto sii para todo recubrimiento abierto de $A$ existe un subrecubrimiento finito. Es decir $A$ es compacto … Sigue leyendo
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Etiquetado compacto, conjunto
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Aparente desviación del teorema del punto fijo
RESUMEN. Damos un ejemplo de una aparente desviación del teorema del punto fijo Enunciado Se considera la función: $$f:\mathbb R\to \mathbb R,\quad f(x)=x+ \displaystyle\frac{1}{1+e^x}.$$ Demostrar que para todo $x,y\in \mathbb R$ con $x\ne y$ se verifica$$|f(x)-f(y)|< |x-y|.$$ Demostrar que $f$ … Sigue leyendo
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Etiquetado fijo, punto
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