Archivo de la categoría: Miscelánea matemática

Plano osculador y curva plana

RESUMEN. Demostramos que una curva es plana usando el concepto de plano osculador. Nota. Este problema ya se resolvió en Una curva plana sin usar el concepto de plano osculador. Enunciado Demostrar que la curva de ecuaciones paramétricas $$x=t,\;y=\dfrac{t^2+t+2}{t},\;z=\dfrac{-t^2-t+3}{t}\quad (t>0)$$ … Sigue leyendo

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Espacios topológicos finitos metrizables

RESUMEN. Demostramos que un espacio topológico finito es metrizable si y sólo si su topología es la discreta. Enunciado Sea $(X,T)$ un espacio topológico con $X$ finito. Demostrar que $(X,T)$ es metrizable si y sólo si $T$ es la topología … Sigue leyendo

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Equivalencia entre toda distancia y su acotada usual

RESUMEN. Demostramos que existe equivalencia entre toda distancia y su acotada usual. Enunciado Sea $d$ una distancia en un conjunto no vacío $X$ y sea $D(x,y)=\min\{1, d(x,y)\}$ la distancia acotada usual de $d.$ Demostrar que $d$ y $D$ son distancias … Sigue leyendo

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Distancia acotada usual

RESUMEN. Demostramos que la distancia acotada usual es efectivamente una distancia. Enunciado Sea $d$ una distancia en un conjunto no vacío $X.$ Demostrar que la función $D$ definida por $$D:X\times X\to [0,+\infty),\quad D(x,y)=\min\{1, d(x,y)\}$$ es una distancia. A la distancia … Sigue leyendo

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Lema de Uryshon

RESUMEN. Demostramos el lema de Uryshon. Teorema (Lema de Uryshon) Un espacio topológico $(X,T)$ es normal si y sólo si para cada par de subconjuntos cerrados no vacíos y disjuntos $F_1,F_2\subset X$, existe una aplicación continua $f:X\to [0,1]$ tal que … Sigue leyendo

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