Clasificación de una familia de endomorfismos

Efectuamos la clasificación de una familia de endomorfismos que depende de un parámetro.

Enunciado
Se consideran los homomorfismos $f_{\lambda}$ de un espacio $V_3(\mathbb{R})$ definidos por las ecuaciones

$\left \{ \begin{matrix}f_{\lambda}(e_1)=e_1+e_2+\lambda e_3\\f_{\lambda}(e_2)=e_1+\lambda e_2+e_3\\f_{\lambda}(e_1)=e_1+e_2+\lambda^2 e_3,\end{matrix}\right.$

donde $\lambda\in\mathbb{R}$ y $B=\{e_1,e_2,e_3\}$ es una base de $V_3(\mathbb{R}).$

1. Clasificar en función de $\lambda$ los distintos endomorfismos $f_{\lambda}$ indicando su naturaleza. Para aquellos $f_{\lambda}$ que no sean automorfismos, definir la imagen y el núcleo. Para los que sean automorfismos, definir su inverso.
2. Dado el vector $b=e_1+2e_2+e_3$ disentir la existencia o no de solución de la ecuación $f_{\lambda}(x)=b.$

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Caminos, UPM).

Solución
1. Trasponiendo coeficientes obtenemos la matriz $A_{\lambda}$ del endomorfismo $f_{\lambda}$ respecto de la base $B$ y la expresión matricial correspondiente.

$A=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{1}&{\lambda}&{1}\\{\lambda}&{1}&{\lambda^2}\end{bmatrix}\;,\quad \begin{bmatrix}{y_1}\\{y_2}\\{y_3}\end{bmatrix}=A_{\lambda} \;\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{bmatrix}\;.$

Hallemos $\dim (\mbox{Im}f_{\lambda})$, es decir $\mbox{rg}(A_{\lambda}).$ Efectuando las transformaciones por filas $F_2-F_1,F_3-\lambda F_1$ y luego $F_3+F_2$ obtenemos la forma escalonada de la matriz $A_{\lambda}:$

$A_{\lambda}=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{1}&{\lambda}&{1}\\{\lambda}&{1}&{\lambda^2}\end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{0}&{\lambda-1}&{0}\\{0}&{1-\lambda}&{\lambda^2-\lambda}\end{bmatrix}
\sim \begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{0}&{\lambda-1}&{0}\\{0}&{0}&{\lambda^2-\lambda}\end{bmatrix}\;.$

Primer caso: $\lambda^2-\lambda=0.$ Equivale a decir $\lambda=0$ o $\lambda=1.$ Para $\lambda=0$ tenemos $\dim (\mbox{Im}f_0)=\mbox{rg}(A_{0})=2$ y por el teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales, $\dim (\ker f_0)=1.$ Para $\lambda=1$ tenemos $\dim (\mbox{Im}f_1)=\mbox{rg}(A_{1})=1$ y por el teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales, $\dim (\ker f)=2.$

Segundo caso: $\lambda^2-\lambda\neq 0.$ Equivale a decir $\lambda\neq 0$ y $\lambda\neq 1.$ En este caso tenemos $\dim (\mbox{Im}f_{\lambda})=\mbox{rg}(A_{\lambda})=3$ y de nuevo, por el teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales, $\dim (\ker f_{\lambda})=0.$ Es decir, en este segundo caso cada aplicación $f_{\lambda}$ es inyectiva y sobre, por tanto isomorfismo. Al ser endomorfismo, es automorfismo.

Podemos pues concluir para la familia de endomorfismos dada, tenemos automorfismos exactamente para $\lambda\neq 0$ y $\lambda\neq 1.$

Definamos el núcleo y la imagen en los casos que no son automorfismos. Usando la expresión matricial de $f_{\lambda}$ obtenemos de forma inmediata unas ecuaciones cartesianas del núcleo y unas ecuaciones paramétricas de la imagen:

$\ker (f_0)\equiv\left \{ \begin{matrix}x_1+x_2+x_3=0\\x_1+x_3=0\\x_2=0\end{matrix}\right.\;\; \mbox{Im}(f_0)\equiv \left \{ \begin{matrix}y_1=x_1+x_2+x_3\\y_2=x_1+x_3\\y_3=x_2\end{matrix}\right.\; (x_i\in\mathbb{R})$ $
\ker (f_1)\equiv\left \{ \begin{matrix}x_1+x_2+x_3=0\end{matrix}\right.\;\; \mbox{Im}(f_1)\equiv \left \{ \begin{matrix}y_1=x_1+x_2+x_3\\y_2=x_1+x_2+x_3\\y_3=x_1+x_2+x_3\end{matrix}\right.\; (x_i\in\mathbb{R}).$

Ahora encontramos fácilmente unas bases de estos subespacios en coordenadas con respecto de la base $B:$

$B_{\ker (f_0)}=\{(-1,0,1)\}\;,\;B_{\textrm{Im}(f_0)}=\{(1,1,0),\;(1,0,1)\},$ $
B_{\ker (f_1)}=\{(-1,1,0),\;(-1,0,1)\}\;,\;B_{\textrm{Im}(f_1)}=\{(1,1,1)\}.$

Es decir:

$B_{\ker (f_0)}=\{-e_1+e_3\}\;,\;B_{\textrm{Im}(f_0)}=\{e_1+e_2,\;e_1+e_3\},$ $
B_{\ker (f_1)}=\{-e_1+e_2,\;-e_1+e_3\}\;,\;B_{\textrm{Im}(f_1)} =\{e_1+e_2+e_3\}.$

Por un conocido teorema, para cada automorfismo, es decir para cada $\lambda\neq 0$ y $\lambda\neq 1$ la matriz de su automorfismo inverso es $(A_{\lambda})^{-1}.$

2. La existencia de soluciones de la ecuación $f_{\lambda}(x)=b$ equivale a la existencia de soluciones del sistema:

$\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{1}&{\lambda}&{1}\\{\lambda}&{1}&{\lambda^2}\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}\\{1}\\{1}\end{bmatrix}\;.$

Efectuando las transformaciones por filas $F_2-F_1,F_3-\lambda F_1$ y luego $F_3+F_2$ obtenemos la forma escalonada del sistema:

$\displaystyle\begin{aligned}
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & \lambda & 1 & 1 \\
\lambda & 1 & \lambda^2 & 1
\end{array}\right]&\sim \left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & \lambda-1 & 0 & 0 \\
0 & 1-\lambda & \lambda^2-\lambda & 1-\lambda
\end{array}\right]\\
&\sim \left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & \lambda-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \lambda^2-\lambda & 1-\lambda
\end{array}\right]\;.
\end{aligned}$

Para $\lambda\neq 0$ y $\lambda\neq 1$, el sistema es compatible y determinado y por tanto la ecuación tiene solución única. Para $\lambda=0$, el sistema es incompatible y la ecuación no tiene solución. Para $\lambda=1$, el sistema es indeterminado y la ecuación tiene infinitas soluciones.