Conjetura de Goldbach: propiedad huidiza

Con el concepto de propiedad huidiza pretende Brouwer refutar el Principio del Tercio Excluso, para conjuntos infinitos.

Definición.  Se dice que una propiedad $H(n)$ relativa a los números naturales es Propiedad Huidiza si y sólo si:

$(i)$ Para todo $n\in \mathbb{N}$ se puede decidir si $H(n)$ se verifica o no.
$(ii)$ No se conoce ningún método de calcular un número natural $n$ tal que se verifique $H(n)$.
$(iii)$ No se sabe si es absurdo el aserto de que al menos un número natural $n$ verifique $H(n)$.

Observación.  Es claro que el carácter “huidizo” de una propiedad no es permanente en el tiempo pues se podría descubrir en un momento dado un número natural que tuviera dicha propiedad o bien demostrarse el absurdo de la existencia de un tal número natural.

Ejemplo.  Para $n=1,2,3,\ldots$ consideremos la propiedad

$G(n)\equiv\;(2n+2$ es la suma de dos números primos)

El enunciado para todo $n$ se verifica $G(n)$ se conoce como la Conjetura de Goldbach y a día de hoy ni se ha demostrado ni se ha refutado desde que se dio a conocer en una carta de Goldbach a Euler en 1742.

Consideremos ahora la propiedad $\neg \;G(n)$ a la que denotamos por $H(n)$ . Es claro que $H(n)$ es propiedad huidiza: dado un número natural $n$ existe un algoritmo para decidir si se verifica o no $H(n)$ y por lo ya comentado, también se verifican las condiciones (ii) y (iii). Llamemos $n_0$ (número crítico de $H(n)$) al menor de los números naturales (hipotético) que verifica $H(n)$ . Definimos ahora la sucesión $(a_n)_{n\geq 1}$ de la siguiente manera $$a_n=\left \{ \begin{matrix} (1/2)^n&\mbox{si}& n<n_0\\ (1/2)^{n_0} &\mbox{si}& n\geq n_0.\end{matrix}\right.$$ Sea $L=\lim_{n\to \infty}a_n$ , entonces no se puede asegurar $(L=0)\vee(L\neq 0)$ pues si $L=0$ supondría haber decidido en el momento actual en infinitos procesos que la Conjetura de Goldbach es cierta lo cual es absurdo y si $L\neq 0$ supondría una contradicción con $(ii).$