Criterio de Abel para la convergencia de series

Demostramos el criterio de Abel para la convergencia de series y damos un ejemplo de aplicación.

Enunciado
1. Sea $(\lambda_n)$ una sucesión monótona y acotada de números reales y $(s_n)$ una sucesión acotada de vectores de un espacio normado $E.$ Sea $u_n=(\lambda_n-\lambda_{n+1})u_n$. Demostrar que la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es absolutamente convergente.
2. Demostrar el criterio de Abel para la convergencia de series:
   Sea $E$ un espacio de Banach. Consideremos la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}x_n$ en donde:
   $(a)$ $x_n=\lambda_n y_n$ con $\lambda_n\in\mathbb{R}$ e $y_n\in E$ para todo $n.$
   $(b)$ $(\lambda_n)$ es monótona y acotada.
   $(c)$ La serie $\sum_{n=1}^{+\infty}y_n$ es convergente.
   Entonces, la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}x_n$ es convergente.
3. Usando el criterio de Abel demostrar que es convergente la serie $$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}\dfrac{1}{(1+i)^n}.$$

Solución
1. Como $(s_n)$ está acotada, existe un $K$ tal que $ \left\|{s_n}\right\|\leq K$ para todo $n.$ Por tanto $$\displaystyle\sum_{k=1}^n \left\|{u_k}\right\|=\displaystyle\sum_{k=1}^n \left |{\lambda_k-\lambda_{k+1}}\right | \left\|{s_k}\right\|\leq K\displaystyle\sum_{k=1}^n \left |{\lambda_k-\lambda_{k+1}}\right |.$$ Dado que $(\lambda_n)$ es monótona (bien creciente, bien decreciente) deducimos que $$\displaystyle\sum_{k=1}^n \left |{\lambda_k-\lambda_{k+1}}\right |=\left |{\lambda_1-\lambda_{n+1}}\right |.$$ Al ser $(\lambda_n)$ sucesión monótona y acotada, tiene límite $\lambda$ y claramente se verifica $\left |{\lambda_1-\lambda_{n+1}}\right |\leq \left |{\lambda_1-\lambda}\right |.$ Es decir, tenemos para todo $n:$ $$\displaystyle\sum_{k=1}^n \left\|{u_k}\right\|\leq K\left |{\lambda_1-\lambda}\right |.$$ La serie de términos positivos $\sum_{n=1}^{+\infty} \left\|u_n \right\|$ es convergente al tener las sumas parciales acotadas, lo cual equivale a decir que $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ es absolutamente convergente.
2. Llamando $s_n=y_1+\ldots+y_n$ tenemos $$\displaystyle\begin{aligned}
   x_1+x_2+\ldots+x_n&=\lambda_1y_1+\ldots+\lambda_ny_n\\
   &=\lambda_1s_1+\lambda_2(s_2-s_1)+\ldots+\lambda_n(s_n-s_{n-1})\\
   &=(\lambda_1-\lambda_2)s_1+\ldots+(\lambda_{n-1}-\lambda_n)s_{n-1}+\lambda_ns_n\\
   &=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (\lambda_k-\lambda_{k+1})s_k+\lambda_ns_n.
   \end{aligned}$$ Consideremos la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ siendo $u_n=(\lambda_n-\lambda_{n+1})s_n$. Se satisfacen las hipótesis del resultado del problema anterior pues $(\lambda_n)$ es monótona acotada y $(s_n)$ está acotada por ser convergente la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}y_n.$ Por tanto $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es absolutamente convergente y por ser $E$ de Banach, es convergente. Es decir, existe $$l=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty} \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(\lambda_k-\lambda_{k+1})s_k\in E.$$ Al ser $(\lambda_n)$ monótona y acotada, tiene límite $\lambda\in\mathbb{R}$. Al ser $\sum_{n=1}^{+\infty}y_n$ convergente, existe $s=\lim_{n\to +\infty}s_n\in E.$ En consecuencia $$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(x_1+\ldots+x_n)=l+\lambda s\in E.$$ Concluimos que $\sum_{n=1}^{+\infty}x_n$ es convergente.
3. La sucesión $\lambda_n=1/n^2$ es claramente monótona y acotada. Por otra parte, la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}y_n=\sum_{n=1}^{+\infty}1/(1+i)^n$ es convergente por ser geométrica de razón $1/(1+i)$ y $\left|1/(1+i)\right|=1/\sqrt{2}<1.$
   Por el criterio de Abel, la serie dada es convergente.