Derivabilidad de una función compleja como suma de dos series

Estudiamos la derivabilidad de una función compleja como suma de dos series, y su expresión en suma de una única serie.

Enunciado
Se considera la función compleja de variable compleja definida en forma de  suma de series: $$f(z)=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{z}{3}\right)^n+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{z^n}.$$ (a)  Determinar su dominio $\Omega$ de definición.
(b)  Estudiar la derivabilidad de $f$ en $\Omega.$
(c)  Justificar que se puede escribir $f(z)=\sum_{n=0}^\infty{a_n(z-2)^n}$ en el disco $D(2,1)$ y determinar los coeficientes $a_n.$

Solución
(a)  Usando el teorema relativo a la serie geométrica $$\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{z}{3}\right)^n\underbrace{=}_{\left|z/3\right|<1}=\frac{1}{1-z/3}=\frac{3}{3-z}\quad \left(\left|z\right|<3\right),$$ $$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{z^n}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{z^n}\underbrace{=}_{\left|1/z\right|<1}=\frac{1}{z}\frac{1}{1-1/z}=\frac{1}{z-1}\quad \left(1<\left|z\right|\right).$$ El dominio de definición es por tanto la corona abierta $\Omega=\{z\in \mathbb{C}:1<\left|z\right|<3\}.$

(b)  La función $f$ es $$f:\Omega\to \mathbb{C}, \quad f(z)=\frac{3}{3-z}+\frac{1}{z-1}=\frac{2z}{(3-z)(z-1)}$$ es decir, es racional y no se anula en $\Omega$, en consecuencia es derivable en su dominio.

(c)  Efectuando el cambio $u=z-2$ obtenemos $$f(z)=\displaystyle\frac{3}{1-u}+\displaystyle\frac{1}{1+u}\underbrace{=}_{\left |{u}\right |<1}3\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u^n+\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nu^n\underbrace{=}_{\left |{z-2}\right |<1}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left[3+(-1)^n\right](z-2)^n.$$