Derivada logarítmica

Proporcionamos ejercicios sobre la derivada logarítmica.

RESUMEN TEÓRICO
  • Definición.  Se llama derivada logarítmica de una función $y=f(x)$ a  la derivada del logaritmo de dicha función, es decir: $$\left(\log y\right)’=\frac{y’}{y}=\frac{f'(x)}{f(x)}.$$
  • La derivada logarítmica facilita en algunos casos el cálculo de la derivada de una función. Especialmente se usa para derivar funciones del tipo $y=u^v$ en donde $u$ y $v$ son funciones de $x.$
  • Ejemplo 1.  Derivar $y=\dfrac{(2x-1)^2\sqrt{3x+2}}{\sqrt[3]{x}}.$
    Solución. Tomando logaritmos:$$\log y=2\log (2x-1)+\dfrac{1}{2}(3x+2) -\dfrac{1}{3}\log x.$$ Derivando: $$\frac{y’}{y}=2\frac{2}{2x-1}+\frac{1}{2}\frac{3}{3x+2}-\frac{1}{3}\frac{1}{x}.$$ Pasando $y$ al segundo miembro y sustituyendo por su valor: $$y’=\dfrac{(2x-1)^2\sqrt{3x+2}}{\sqrt[3]{x}}\left(\frac{1}{2x-1}+\frac{3}{2(3x+2)}-\frac{1}{3x}\right).$$
  • Ejemplo 2.  Derivar $y=x^x.$
    Solución. Tomando logaritmos: $\log y=x\log x.$ Derivando:  $$\dfrac{y’}{y}=1\log x+x\dfrac{1}{x}=1+\log x.$$ Pasando $y$ al segundo miembro y sustituyendo por su valor: $$y’=x^x\left(1+\log x\right).$$
    Enunciado
  1. Hallar la derivada de la función $y=x^{\operatorname{sen}x}.$
  2. Hallar la derivada de la función $y=(\cos x)^{\operatorname{sen}x}.$
  3. Hallar la derivada de la función $y=x^{x^x}$
  4. Siendo $f(x)=\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^x,$ calcular $f'(2).$
    Solución
  1. Tomando logaritmos: $\log y=(\operatorname{sen}x)(\log x).$ Derivando: $$\frac{y’}{y}=(\cos x)\log x+(\operatorname{sen}x)\dfrac{1}{x}.$$ Pasando $y$ al segundo miembro y sustituyendo por su valor: $$y’=x^{\operatorname{sen}x}\left((\cos x)\log x+\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}\right).$$
  2. Tomando logaritmos: $\log y=(\operatorname{sen}x)(\log \cos x).$ Derivando: $$\frac{y’}{y}=(\cos x)(\log \cos x)+\operatorname{sen}x\dfrac{-\operatorname{sen}x}{\cos x}.$$ Pasando $y$ al segundo miembro y sustituyendo por su valor: $$y’=(\cos x)^{\operatorname{sen}x}\left((\cos x)(\log \cos x)-\dfrac{\operatorname{sen}^2x}{\cos x}\right).$$
  3. Tomando logaritmos: $\log y=x^x\log x.$ Derivando: $$\frac{y’}{y}=\left(x^x\right)’\log x+x^x\dfrac{1}{x}.$$ En un ejercicio anterior, ya vimos usando derivación logarítmica que: $$\left(x^x\right)’=x^x\left(1+\log x\right),$$ por tanto, $$\frac{y’}{y}=x^x\left(1+\log x\right)\log x+\dfrac{x^x}{x}.$$ Pasando $y$ al segundo miembro y sustituyendo por su valor: $$y’=x^{x^x}\left(x^x\left(1+\log x\right)\log x+\dfrac{x^x}{x}\right).$$ Simplificando, $y’=x^{x^x}x^x\left(\log x+\log^2x+\dfrac{1}{x}\right).$
  4. Tomando logaritmos: $\log f(x)=x\log \dfrac{x-1}{x+1}=x\left(\log(x-1)-\log (x+1)\right).$ Derivando: $$\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\log(x-1)-\log (x+1)+x\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right).$$ Sustituyendo $x=2:$ $$\dfrac{f'(2)}{(1/3)^2}=\log1-\log 3+2\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\Rightarrow f'(2)=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{4}{3}-\log 3\right).$$
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