Desarrollo en serie de Maclaurin de la función exponencial

Demostramos que la función exponencial es igual a la suma de su serie de Maclaurin.

Enunciado
Demostrar que $$e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}+\cdots
=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k}{k!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).$$ y que si $a>0,$ $$a^x=1+\dfrac{x\log a}{1!}+\dfrac{x^2\left(\log a\right)^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n\left(\log a\right)^n}{n!}+\cdots
=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k\left(\log a\right)^n}{k!}$$ para todo $x\in\mathbb{R}.$

Solución.
La fórmula de Maclaurin de orden  $n$ aplicada a la función  $e^x$ es $$e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}+\frac{e^{\xi}}{(n+1)!}x^{n+1}$$ con  $\xi$ comprendido entre $0$ y $x.$ Podemos por tanto escribir $$\left|e^x-\left(1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}\right)\right|=\frac{e^{\xi}}{(n+1)!}\left|x\right|^{n+1}.$$ Como  $\xi$ está comprendido entre $0$ y $x,$ se verifica  $e^{\xi}\leq e^{\left|x\right|},$ es decir $$\left|e^x-\left(1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}\right)\right|\leq\frac{\left|x\right|^{n+1}}{(n+1)!}e^{\left|x\right|}.$$ Ahora bien, $\dfrac{\left|x\right|^{n+1}}{(n+1)!}\to 0$ cuando $n\to +\infty$ pues sabemos que la exponencial tiene un grado de infinitud menor que el factorial. En consecuencia, $$1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}\to e^x$$ para todo $x\in\mathbb{R}$ con lo cual  $$e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}+\cdots
=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k}{k!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).$$ Para $a > 0$ tenemos $$a^x=\left(e^{\log a}\right)^x=e^{x\log a}$$ $$=1+\dfrac{x\log a}{1!}+\dfrac{x^2\left(\log a\right)^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n\left(\log a\right)^n}{n!}+\cdots
=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k\left(\log a\right)^n}{k!}$$ para todo $x\in\mathbb{R}.$