Desarrollo en serie de Maclaurin de las funciones seno y coseno

Demostramos que las funciones seno y coseno son iguales a las sumas de sus series de Maclaurin.

Enunciado
Demostrar que $$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots +\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).$$ $$\operatorname{sen}x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots +\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).$$

Solución
La fórmula de Maclaurin de orden  $2n$ aplicada a la función  $\cos x$ proporciona la acotación $$\left|\cos x-\left(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots +(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{n!}\right)\right|\leq\frac{\left|x\right|^{2n+1}}{(2n+1)!}.$$ Ahora bien, $\dfrac{\left|x\right|^{2n+1}}{(2n+1)!}\to 0$ cuando $n\to +\infty$ pues sabemos que la exponencial tiene un grado de infinitud menor que el factorial. En consecuencia, $$1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots +\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}\to \cos x$$ para todo $x\in\mathbb{R}$ con lo cual $$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots +\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).$$ De manera análoga se deduce el desarrollo en serie de Maclaurin de la función seno.