Desarrollo en serie de Maclaurin de $\log (1-x)$

Demostramos que la función $\log (1-x)$ es igual a la suma de su serie de Maclaurin.

Enunciado
Demostrar que si  $\left|x\right|<1,$ $$\log (1-x)=-x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}-\cdots+\dfrac{x^n}{n}-\cdots=-\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{x^k}{k}.$$

Solución
Llamemos  $f(x)=x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\cdots+\dfrac{x^n}{n}+\cdots.$ Derivando y usando el conocido teorema de la suma de las series geométricas $$f'(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}+\cdots=\frac{1}{1-x},\quad \left|x\right|<1.$$ Integrando la igualdad anterior: $$f(x)=\int \frac{dx}{1-x}=-\log (1-x)+C.$$ Para $x=0$ y teniendo en cuenta que $f(0)=0$ obtenemos $0=(-\log 1)+C,$ luego $C=0.$ Queda: $$\log (1-x)=-x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}-\cdots-\dfrac{x^n}{n}-\cdots,\quad \left|x\right|<1.$$

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