Dominio de integridad no euclídeo

Proporcionamos un ejemplo de dominio de integridad que no es euclídeo.

Enunciado
1. Demostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]=\{a+b\sqrt{5}i:a,b\in\mathbb{Z}\}$ es dominio de integridad con las operaciones habituales suma y producto de complejos.
2. Hallar el conjunto $\mathcal{U}$ de las unidades de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$.
3. Demostrar que $6$ puede descomponerse en dos formas esencialmente distintas en producto de factores irreducibles, lo cual probará que $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ no es un dominio de factorización única.

Solución
1. Como $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]\subset \mathbb{C}$ bastará demostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ es subanillo de $\mathbb{C}$. Usamos el conocido teorema de caracterización de subanillos. Claramente, $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]\ne \emptyset$. Para cada par de elementos $a+b\sqrt{5}i$ y $c+d\sqrt{5}i$ de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i],$ $$(a+b\sqrt{5}i)-(c+d\sqrt{5}i)=(a-c)+(b-d)\sqrt{5}i\in \mathbb{Z}[\sqrt{5}i],$$ $$(a+b\sqrt{5}i)(c+d\sqrt{5}i)=(ac-5bd)+(ad+bc)\sqrt{5}i\in \mathbb{Z}[\sqrt{5}i].$$ Hemos demostrado pues que $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ es anillo. Dado que $\mathbb{C}$ es conmutativo, también lo es $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i].$ Por otra parte $1=1+0i\in\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$, luego es unitario. Al ser $(\mathbb{C},+,\cdot)$ es dominio de integridad, también lo es $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$
2. Un elemento $a+b\sqrt{5}i\in \mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ no nulo es unidad si y sólo si existe un $a’+b’\sqrt{5}i\in \mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ no nulo tal que $(a+b\sqrt{5}i)(a’+b’\sqrt{5}i)=1.$ Tomando módulos al cuadrado, obtenemos $(a^2+5b^2)(a’^2+5b’^2)=1.$ Como los dos factores anteriores son enteros positivos, ha de ser necesariamente $a^2+5b^2=1$ o equivalentemente $a=\pm 1\;\wedge\; b=0.$ Es decir, las únicas posibles unidades de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ son $1,-1.$ Pero estos elementos son efectivamente unidades al cumplirse $1\cdot 1=1$, $(-1)\cdot (-1)=1.$ Concluimos que $\mathcal{U}=\{1,-1\}.$
3. Expresemos $6=(a+b\sqrt{5}i)(c+d\sqrt{5}i)$ como producto de dos factores no nulos. Esto equivale a $$\left \{ \begin{matrix} ac-5bd=6\\bc+ad=0\end{matrix}\right.$$ Resolviendo en las incógnitas $c,d$ obtenemos
   $$c=\dfrac{\begin{vmatrix}{6} & {-5b}\\{0} & {\;\;a}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{a} & {-5b}\\{b} & {\;\;a}\end{vmatrix}}=\dfrac{6a}{a^2+5b^2}\;,\;d=\dfrac{\begin{vmatrix}{a} &{6}\\{b} &{0}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{a} &{-5b}\\{b} &{\;\;a}\end{vmatrix}}=\dfrac{-6b}{a^2+5b^2}.$$ Dando los valores $a=1,b=1$ obtenemos $c=1,d=-1$ y por tanto
   $$6=(1+\sqrt{5}i)(1-\sqrt{5}i).\quad (1)$$ Por otra parte tenemos la factorización $$6=2\cdot 3=(2+0\sqrt{5}i)(3+0\sqrt{5}i).\quad (2)$$ Veamos que los elementos $1+\sqrt{5}i,1-\sqrt{5}i,2,3$ son irreducibles. En efecto, si $x+y\sqrt{5}i\in \mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ divide a $1+\sqrt{5}i,$ existe $u+v\sqrt{5}i\in \mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ tal que $1+\sqrt{5}i=(x+y\sqrt{5}i)(u+v\sqrt{5}i)$. Tomando módulos al cuadrado queda $6=(x^2+5y^2)(u+5v^2)$ lo cual implica que $x^2+5y^2$ ha de dividir a $6.$ Esto ocurre en los casos $x=\pm 1,y=0$ o $x=\pm 1,y=\pm 1$ es decir, los posibles divisores de $1+\sqrt{5}i$ son $\pm 1,\;\pm (1+\sqrt{5}i),\;\pm (1-\sqrt{5}i).$ Los elementos $\pm 1$ y $\pm (1+\sqrt{5}i)$ claramente dividen a $1+\sqrt{5}i$ pero los primeros son unidades y los segundos sus asociados. Por otra parte, $\pm (1-\sqrt{5}i)$ no dividen a $1+\sqrt{5}i$ pues $$\dfrac{1+\sqrt{5}i}{\pm (1-\sqrt{5}i)}=\pm \dfrac{(1+\sqrt{5}i)(1+\sqrt{5}i)}{(1-\sqrt{5}i)(1+\sqrt{5}i)}=\pm \left(-\dfrac{2}{3}+\dfrac{\sqrt{5}}{3}i\right)\notin \mathbb{Z}[\sqrt{5}i].$$ Hemos demostrado que $1+\sqrt{5}i$ es irreducible. De manera análoga podemos demostrar que $1-\sqrt{5}i,2,3$ también lo son. Debido a las factorizaciones (1) y (2), concluimos que $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ no es dominio de factorización única y por tanto no es dominio euclídeo.