Endomorfismo con modelo matemático

Estudiamos un endomorfismo con modelo matemático de probabilidades.

Enunciado
Sea $f$ el endomorfismo en $\mathbb{R}^2$ cuya matriz respecto de la base canónica es $A=\begin{bmatrix}{1/4}&{1/2}\\{3/4}&{1/2}\end{bmatrix}$ y sean

$C_1=\{x\in\mathbb{R}^2\;:\;x_1\geq 0\;,\;x_2\geq 0\}\;,\;R_k=\{x\in\mathbb{R}^2\; :\;x_1+x_2=k\}$ siendo $k\in\mathbb{R}.$

Se pide:
1. Comprobar que $C_1$ es $f$-invariante. Idem para cada $R_k$.
2. Comprobar que $R_0$ es un subespacio propio de $f$ . Determinar los valores propios y los subespacios propio de $f$.
3. Determinar $A^n$ para cada $n$ natural y $\lim_{n\to \infty}A^n$.
4. La restricción de $f$ a $C_1\cap R_1$ sirve de modelo para el siguiente sistema:

En una autopista de dos carriles, la probabilidad de que un coche esté en el carril $i$ en el instante $n$ habiendo estado en el carril $j$ en el instante anterior $n-1$ es $a_ {ij}$. Si $x_{in}$ es la probabilidad de que un coche se encuentre en el carril $i$ en el instante $n$ y $s_n=(x_{1n},x_{2n})^t$ representa el estado de la autopista en el instante $n$, se cumple para todo $n\in\mathbb{N}$ que $ s_{n+1}=f(s_n)$. Determinar:

(a) Si existen estados estacionarios (es decir si existen $s_e$ tales que $\forall n\in\mathbb{N}\;\;s_n=s_e$) y calcularlos en su caso.
(b) $s_n$ en función de $n$ y $s_0$.
(c) Si existe $\lim_{n\to \infty}s_n$ para cada $s_0$, y calcularlo en su caso.
(d) El carril que tenderá a estar más ocupado al crecer $n$.

(Propuesto en examen de Álgebra, ETS Ing. Industriales, UPM).

Solución
1. Para todo $x=(x_1,x_2)^t\in\mathbb{R}^2$ hallemos su transformado $y=(y_1,y_2)^t$ por $f$

$f(x)=f\left(\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{bmatrix}\right)=A\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{x_1/4+x_2/2}\\{3x_1/4+x_2/2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{y_1}\\{y_2}\end{bmatrix}\;.$

Para todo $x\in C_1$ tenemos $y_1\geq 0,\;y_2\geq 0$ y para todo $x\in R_k$, $y_1+y_2=$ $x_1+x_2=k$ por tanto $f(C_1)\subset{C_1}$ y $f(R_k)\subset{R_k}$. Es decir, $C_1$ y $R_k$ son $f$-invariantes.

2. Los vectores $x=(x_1, x_2)^t$ de $R_0$ son los vectores de la forma $(\alpha,-\alpha)$ con $\alpha\in\mathbb{R}$ y para estos vectores se verifica $A(\alpha,-\alpha)^t=(-\alpha/4,\alpha/4)=(-1/4)(\alpha,-\alpha)^t$. Esto implica que los vectores de $R_0$ son propios asociados al valor propio $-1/4$. Hallemos todos los valores propios

$\det (A-\lambda I)=0 \Leftrightarrow \lambda^2-\dfrac{3}{4}\lambda-\dfrac{1}{4}=0 \Leftrightarrow \lambda_1=1\;\vee\;\lambda_2=-\dfrac{1}{4}.$

Los valores propios de $f$ son por tanto $\lambda_1=1$ y $\lambda_2=-1/4$ (ambos simples). Hallemos una base de cada uno de los subespacios propios

$$\ker (A-1I) \equiv \left \{ \begin{matrix}   -\frac{3}{4}x_1+\frac{1}{2}x_2=0 \\{}\;\;\;\frac{3}{4}x_1-\frac{1}{2}x_2=0 \end{matrix}\right.$$ $$\equiv \left \{ \begin{matrix}   -3x_1+2x_2=0 \\{}\;\;\;3x_1-2x_2=0 \end{matrix}\right.\equiv \left \{ \begin{matrix}  3x_1-2x_2=0.\\\end{matrix}\right.$$ $$\ker (A+(1/4)I) \equiv \left \{ \begin{matrix}   \frac{1}{2}x_1+\frac{1}{2}x_2=0 \\\frac{3}{4}x_1+\frac{3}{4}x_2=0 \end{matrix}\right.$$ $$ \equiv \left \{ \begin{matrix}   x_1+x_2=0 \\x_1+x_2=0 \end{matrix}\right. \equiv \left \{ \begin{matrix}  x_1+x_2=0 \equiv R_0.\end{matrix}\right.$$

Unas bases respectivas son $B_1=\{(2,3)\}$ y $B_{1/4}=\{(-1,1)\}$.

3. El endomorfismo $f$ es diagonalizable y por tanto:

$P^{-1}AP=D=\begin{bmatrix}{1}&{\;\;0}\\{0}&{-1/4}\end{bmatrix}\quad\textrm{si}\quad P=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\\{3}&{\;\;1}\end{bmatrix}\;.$

Aplicando la conocida fórmula para el cálculo de la potencia enésima de una matriz diagonalizable

$$A^n=PD^nP^{-1}=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\\{3}&{\;\;1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{(-1/4)^n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{-1}\\{3}&{\;\;1}\end{bmatrix}^{-1}=$$$$\ldots=\dfrac{1}{5}\begin{bmatrix}{2+3(-1/4)^n}&{2-2(-1/4)^n}\\{3-3(-1/4)^n}&{3+2(-1/4)^n}\end{bmatrix}\;.$$

Cuando $n\to \infty$ se verifica $(-1/4)^n\to 0$. En consecuencia

$\displaystyle\lim_{n \to \infty}{A^n}=\dfrac{1}{5}\begin{bmatrix}{2}&{2}\\{3}&{3}\end{bmatrix}\;.$

4. (a) De la hipótesis $s_{n+1}=f(s_n)$ deducimos

$s_{n+1}=As_n=A^2s_{n-1}=A^3s_{n-2}=\ldots=A^{n+1}s_0.$

Si $s_e$ es estado estado estacionario, necesariamente se ha de cumplir $s_{e+1}=s_e$ o bien $A^{e+1}s_0=A^es_0$. Como $A$ es invertible, esto implica $As_0=s_0$, es decir $s_0$ ha de ser vector propio asociado al valor propio $1$ o bien $s_0=\alpha(2,3)$. Dado que $s_0\in C_1\cap R_1$ se ha de verificar $2\alpha\geq 0,3\alpha \geq 0$ y $2\alpha +3\alpha =1$. Esto se verifica solamente si $\alpha =1/5.$ Concluimos pues que si existen estados estacionarios, necesariamente ha de ser $s_0=(2/5,3/5)^t$.

Por otra parte, para este $s_0$, $s_n=A^{n-1}s_0=A^{n-2}s_0=\ldots=As_0=s_0$ para todo $n\in\mathbb{N}.$ Concluimos que $s_0=(2/5,3/5)^t$ es el único estado estacionario.

(b) Tenemos que $s_n=A^{n-1}s_0$ con $s_0=(x_{10},x_{20})^t$ un vector genérico cumpliendo $x_{10}\geq 0,\;x_{20}\geq 0$ y $x_{10}+x_{20}=1$ y la matriz $A^{n-1}$ ya está calculada. Basta sustituir.

(c) Teniendo en cuenta que $x_{10}+x_{20}=1:$

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} s_n=\displaystyle\lim_{n \to \infty}A^{n-1}s_0=\dfrac{1}{5}\begin{bmatrix}{2}&{2}\\{3}&{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_{10}}\\{x_{20}}\end{bmatrix}=\dfrac{1}{5}\begin{bmatrix}{2}\\{3}\end{bmatrix}\;.$

(d) Cuando $n\to \infty$ la probabilidad de que un coche ocupe el carril $1$ tiende a $2/5$ y de que ocupe el carril $2$ tiende a $3/5$. Esto significa que al crecer $n$ el carril $2$ tenderá a estar más ocupado.