Proporcionamos ejemplos de cálculo de extremoss absolutos sobre conjuntos compactos.
- Considérese la función $f:\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}\to \mathbb{R}:$ $$f(x,y)=\dfrac{-2(x+y)}{x^2+y^2}.$$ Determinar sus extremos absolutos sobre la región $$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:1\leq x^2+y^2\leq 4\}.$$
(Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM).
- ¿Cuanto vale y en qué punto alcanza su máximo la función $f(x,y)=(x|y|-y|x|)^{113}$ sobre el compacto $x^2+y^2\leq 1$?
(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. Industriales, UNED).
- Calcular los extremos absolutos de la función $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ definida por: $$f(x,y)=\displaystyle\int_{0}^{(x+y)^3}\dfrac{\cos^2 t}{1+\sin^4 t}\;dt,$$ sobre el compacto $\mathcal{C}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\leq 1\}.$
(Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM).
- Hallemos los puntos críticos en el interior del compacto $D:$ $$\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}=-2\cdot \dfrac{x^2+y^2-2x(x+y)}{(x^2+y^2)^2}=2\cdot\dfrac{x^2-y^2+2xy}{(x^2+y^2)^2},$$$$
\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}=-2\cdot \dfrac{x^2+y^2-2y(x+y)}{(x^2+y^2)^2}=2\cdot\dfrac{-x^2+y^2+2xy}{(x^2+y^2)^2}.$$ Igualando a $0$ ambas parciales obtenemos necesariamente: $$\left \{ \begin{matrix}x^2-y^2+2xy=0\\-x^2+y^2+2xy=0.\end{matrix}\right.$$Sumando ambas ecuaciones queda $4xy=0.$ Si $x=0$ se deduce que $y=0,$ y si $y=0,$ que $x=0,$ pero la función no está definida en $(0,0).$ Analicemos ahora la función en la frontera del compacto. Los puntos de la circunferencia $x^2+y^2=1$ se pueden expresar en la forma $x=\cos t$, $y=\sin t$ con $t\in[0,2\pi].$ La función $f$ en esta circunferencia la podemos expresar en la forma: $$\varphi (t)=f(\cos t,\sin t)=\dfrac{-2(\cos t+\sin t)}{\cos ^2 t+\sin^2t}=-2(\cos t+\sin t)\quad(t\in [0,2\pi]).$$ Tenemos $\varphi'(t)=0\Leftrightarrow -2(-\sin t+\cos t)=0\Leftrightarrow \sin t=\cos t \Leftrightarrow\tan t=1.$ Los únicos puntos críticos de la función $\varphi$ en $(0,2\pi)$ son $t=\pi/4$ y $t=5\pi/4,$ para los cuales obtenemos los valores $\varphi(\pi/4)=-2\sqrt{2}$ y $\varphi(5\pi/4)=2\sqrt{2}.$
Los valores de $\varphi$ en los extremos del intervalo son $\varphi(0)=\varphi(2\pi)=-2.$ El máximo absoluto de $\varphi$ es por tanto $2\sqrt{2}$ y el mínimo absoluto $-2\sqrt{2}$ para los que obtenemos respectivamente los puntos $(\cos 5\pi/4,\sin 5\pi/4)=(-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2)$ y $(\cos \pi/4,\sin \pi/4)=(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2).$
Procediendo de manera análoga en la circunferencia $x^2+y^2=4$ obtenemos que el máximo absoluto es $\sqrt{2}$ y el mínimo absoluto $-\sqrt{2}.$ De la comparación de los extremos absolutos de la función $f$ en las dos circunferencias, deducimos los extremos absolutos pedidos:$$f_{\max}(-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2)=2\sqrt{2}\;,\quad f_{\min}(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)=-2\sqrt{2}.$$
- Como $113$ es un número impar, la función $u:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\;u(t)=t^{113}$ es estrictamente creciente, en consecuencia los puntos en donde existe máximo para $f(x,y)$ son los mismos para los que se obtiene máximo para la función $g(x,y)=x|y|-y|x|.$ Llamando $C_i$ $(i=1,2,3,4)$ al cuadrante $C_i$ del plano: $$g(x,y)=\left \{ \begin{matrix} xy-yx=0&\mbox{ si }& (x,y)\in C_1\\ xy-y(-x)=2xy&\mbox{ si }& (x,y)\in C_2\\x(-y)-y(-x)=0&\mbox{ si }& (x,y)\in C_3\\x(-y)-yx=-2xy&\mbox{ si }& (x,y)\in C_4\end{matrix}\right.
$$ Llamemos $K$ al compacto $K=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\leq 1\}.$ Dado que en $C_1\cap K$ y $C_3\cap K$ la función $g$ es constante, bastará analizar la función en $C_2\cap K$ y $C_4\cap K.$El único punto crítico de la función $g$ en $C_2\cap K$ es el $(0,0)$ que no pertenece a su interior. Analicemos la función $g$ en la frontera de $C_2\cap K.$ Para todos sus puntos sobre los ejes, la función se anula y sus puntos sobre la circunferencia $x^2+y^2=1$ son de la forma $(x,y)=(\cos t,\sin t)$ con $t\in [\pi/2,\pi].$ La función en este cuarto de circunferencia es por tanto $$\varphi (t)=f(\cos t,\sin t)=2\cos t\sin t=\sin 2t\quad(t\in [\pi/2,\pi]).$$ Tenemos $$\varphi'(t)=0\Leftrightarrow 2\cos 2t=0\Leftrightarrow \cos 2t=0 .$$ El único punto crítico de la función $\varphi$ en $(\pi/2,\pi)$ es $t=3\pi/4,$ para el cual obtenemos el valor $\varphi(3\pi/4)=\sin 3\pi/2=-1.$ El valor de $\varphi$ en los extremos del intervalo son $\varphi(\pi/2)=\varphi(\pi)=0.$ El máximo absoluto de $\varphi$ es por tanto $0$ y el mínimo absoluto $-1.$
Procediendo de manera análoga en $C_4\cap K$ obtenemos para la correspondiente función $\varphi$ en el intervalo $[3\pi/2,2\pi],$ máximo absoluto $1$ obtenido en $t=7\pi/4$ y mínimo absoluto $0.$
De la comparación de los valores obtenidos, deducimos que en el compacto $K,$ la función $g$ tiene máximo absoluto en $(\cos 7\pi/4,\sin 7\pi/4)=(\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2)$ con valor $1$ y mínimo absoluto en $(\cos 3\pi/4,\sin 3\pi/4)=(-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)$ con valor $-1.$ Por tanto, los máximos absolutos de la función $f$ son: $$f_{\max}(\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2)=1^{113}=1\;,\quad f_{\min}(-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)=(-1)^{113}=-1.$$
- Consideremos la función del tipo $F(u)=\int_{0}^{u}\phi(t)\;dt$ con $\phi$ continua y $\phi\geq 0$ en $\mathbb{R}.$ Aplicando el teorema fundamental del Cálculo, $F'(u)=\phi(u)\geq 0$ con lo cual, $F$ es creciente en $\mathbb{R}.$ En nuestro caso:$$\phi(t)=\dfrac{\cos^2 t}{1+\sin^4 t}\mbox { (continua y }\geq 0\mbox{ en }\mathbb{R}).$$ Esto implica que los extremos absolutos de la función dada $f$ se alcanzarán en los mismos puntos que los extremos absolutos de $u(x,y)=(x+y)^3$ en el compacto $\mathcal{C}.$ A su vez, y teniendo en cuenta que la función $v^3$ es creciente en $\mathbb{R},$ los extremos absolutos de $f$ se alcanzarán en los mismos puntos que los extremos absolutos de $h(x,y)=x+y$ en el compacto $\mathcal{C}.$La función $h$ no tiene puntos críticos, y en la frontera $x^2+y^2=1$ de $\mathcal{C}$ podemos escribir:$$\varphi(t)=h(\cos t,\sin t)=\cos t+\sin t\quad (t\in [0,2\pi]).$$ Tenemos $\varphi'(t)=0\Leftrightarrow -\sin t+\cos t=0\Leftrightarrow\tan t=1.$ Los únicos puntos críticos de la función $\varphi$ en $(0,2\pi)$ son $t=\pi/4$ y $t=5\pi/4,$ para los cuales obtenemos los valores $\varphi(\pi/4)=\sqrt{2}$ y $\varphi(5\pi/4)=-\sqrt{2}.$Los valores de $\varphi$ en los extremos del intervalo son $\varphi(0)=\varphi(2\pi)=1.$ El máximo absoluto de $\varphi$ es por tanto $\sqrt{2}$ y el mínimo absoluto $-\sqrt{2}$ para los que obtenemos respectivamente los puntos $(\cos \pi/4,\sin \pi/4)=(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)$ y $(\cos 5\pi/4,\sin 5\pi/4)=(-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2).$ Podemos concluir que los extremos absolutos de $f$ son: $$f_{\max}(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)=\displaystyle\int_{0}^{2\sqrt{2}}\dfrac{\cos^2 t}{1+\sin^4 t}\;dt,$$$$
f_{\min}(-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2)=\displaystyle\int_{0}^{-2\sqrt{2}}\dfrac{\cos^2 t}{1+\sin^4 t}\;dt.$$
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