Extremos de $f:\left(\mathbb{R}^+\right)^3\to \mathbb{R},$ $f(x,y,z)=x^my^nz^p$ sobre un plano

Enunciado
Hallar, caso de existir, los valores extremos de la función $$f:\left(\mathbb{R}^+\right)^3\to \mathbb{R},\quad f(x,y,z)=x^my^nz^p\quad (m.n.p\text{ enteros positivos})$$ con $x+y+z=a\;(a\in\mathbb{R}^+).$

Solución
El problema es equivalente a hallar los extremos de la función $$g:\Omega\to \mathbb{R},\quad g(x,y)=x^my^n(a-x-y)^p$$ en el abierto $\Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x>0,y>0,a-x-y>0\}.$ Puntos críticos de $g,$ $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \frac{\partial g}{\partial x}=0\\& \frac{\partial g}{\partial y}=0 \end{aligned}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \ldots\Leftrightarrow\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \left[ma-my-(m+p)x\right]x^{m-1}y^n(a-x-y)^{p-1}\\& \left[na-nx-(n+p)y\right]x^{m}y^{n-1}(a-x-y)^{p-1} .\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Como $x>0,$  $y>0,$ y  $a-x-y>0,$ el sistema anterior es equivalente a $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & (m+p)x+my=ma\\& nx+(n+p)y=na, \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ cuya única solución es $$P=\left(\frac{ma}{m+n+p},\frac{na}{m+n+p}\right),$$ y se comprueba inmediatamente que $P\in\Omega.$  El hessiano de $g$ en $P$ es $$H_g(P)=\det \begin{bmatrix}{g_{xx}(P)}&{g_{xy}(P)}\\{g_{yx}(P)}&{g_{yy}(P)}\end{bmatrix}=\ldots$$ $$=(m+n+p)\left(\frac{ma}{m+n+p}\right)^{2(m+n+p-2)}m^{2m-1}n^{2n-1}p^{2p-1}>0.$$ Por otra parte, $$\frac{\partial g}{\partial x}(P)=\ldots$$ $$=-(m+p)\left(\frac{ma}{m+n+p}\right)^{m-1}\left(\frac{na}{m+n+p}\right)^{n}\left(\frac{pa}{m+n+p}\right)^{p-1}<0.$$ Dado que $g\in\mathcal{C}^2(\Omega),$ deducimos por un conocido teorema que $g$ alcanza un máximo en el punto $P.$ Hallando la $z$ que corresponde al punto $P,$ obtenemos $$f_{\max}\left(\frac{ma}{m+n+p},\frac{na}{m+n+p},\frac{pa}{m+n+p}\right)=m^mn^np^p\left(\frac{a}{m+n+p}\right)^{m+n+p}.$$