Forma trigonométrica de los números complejos

Publicada el febrero 8, 2015 por Fernando Revilla

En los siguientes ejercicios usamos la forma trigonométrica de los números complejos.

    Enunciado
  1. Expresar en forma binómica
    $1)\;2[\cos 135^{\text{o}}+i\operatorname{sen } 135^{\text{o}}].\quad 2)\;5[\cos (-\pi/3)+i\operatorname{sen }(-\pi/3)].$
    Expresar en forma trigonométrica
    $3)\;\sqrt{3}-i.\quad 4)\;-1+i.\quad 5)\;-4-4\sqrt{3}i.\quad 6)\;-3i.$
  2. Calcular las siguientes potencias expresando el resultado en forma binómica $$a)\;\left(\sqrt{3}+i\right)^{15}.\quad b)\;(1-i)^{27}.$$
  3. Expresar $\cos 6x$ y $\operatorname{sen }6x$ en función de $\cos x$ y $\operatorname{sen }x.$
  4. Calcular: $a)\;\sqrt[3]{1+i}.\;\;b)\;\sqrt[6]{1}.$
  5. Resolver las ecuaciones: $a)\;z^6+1=0.\quad b)\;z^4+4=0.$
  6. Demostrar que las raíces enésimas de un número complejo cualquiera son los productos de una de ellas por las raíces enésimas de la unidad.
  7. Calcular el mayor valor entero $n,$ estrictamente negativo tal que $\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\right)^n$ sea imaginario puro.
  8. Calcular $(1+w)^n,$ siendo $w=\cos 2\pi/3+i\operatorname{sen}2\pi/3.$
  9. Calcular $(1+\cos x+i\operatorname{sen}x)^n$ con $x\in\mathbb{R}.$
    Solución
  1. $1)\;2[\cos 135^{\text{o}}+i\operatorname{sen } 135^{\text{o}}]=2[-\sqrt{2}/2+i\sqrt{2}/2]=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i.$
    $2)\;5[\cos (-\pi/3)+i\operatorname{sen } (-\pi/3)]=5[1/2-i\sqrt{3}/2]=5/2- 5\sqrt{3}i/2.$
    $3)$ El módulo es $\rho=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2.$ El argumento $\theta$ satisface $\tan \theta$ $=$ $-1/\sqrt{3}$ $=$ $-\sqrt{3}/3,$ por tanto $\theta=-\pi/6$ (4º cuadrante). Es decir, $$\sqrt{3}-i=2[\cos (-\pi/6)+i\operatorname{sen } (-\pi/6)].$$ $4)$ Tenemos $\rho=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}$ y $\tan \theta$ $=$ $-1$, por tanto $\theta=3\pi/4$ (2º cuadrante). Es decir, $$-1+i=\sqrt{2}[\cos (3\pi/4)+i\operatorname{sen } (3\pi/4)].$$ $5)$ Tenemos $\rho=\sqrt{(-4)^2+(-4\sqrt{3})^2}=8$ y $\tan \theta$ $=$ $\sqrt{3},$ por tanto $\theta=-2\pi/3$ (3º cuadrante). Es decir, $$-4-4\sqrt{3}=8[\cos (-2\pi/3)+i\operatorname{sen } (-2\pi/3)].$$ $6)$ Por una simple consideración geométrica, $\rho=3,$ $\theta=-\pi/2,$ por tanto $$-3i=3[\cos (-\pi/2)+i\operatorname{sen } (-\pi/2)].$$
  2. $a)$ Usando la fórmula de De Moivre: $$\left(\sqrt{3}+i\right)^{15}=\left(2[\cos \pi/6+i\operatorname{sen }\pi/6]\right)^{15}=2^{15}[\cos 15\pi/6+i\operatorname{sen }15\pi/6]$$ $$=2^{15}[\cos 15\pi/6+i\operatorname{sen }15\pi/6]=2^{15}[\cos 5\pi/2+i\operatorname{sen }5\pi/2]$$ $$=2^{15}[\cos (2\pi +\pi/2)+i\operatorname{sen }(2\pi+\pi/2)]=2^{15}[\cos\pi/2+i\operatorname{sen }\pi/2]=2^{15}i.$$ $b)$ Podemos proceder como en el apartado anterior, ahora bien dado que $(1-i)^2$ $=$ $1-1-2i$ $=-2i,$ $$(1-i)^{27}=\left((1-i)^2\right)^{13}(1-i)=(-2i)^{13}(1-i)=-2^{13}i^{13}(1-i)$$ $$=-2^{13}i(1-i)=-2^{13}-2^{13}i=-2^{13}(1+i).$$
  3. Usando la fórmula de De Moivre, $$(\cos x+i\operatorname{sen }x)^6=\cos 6x+i\operatorname{sen }6x.$$ Usando la fórmula del binomio de Newton, $$(\cos x+i\operatorname{sen }x)^6=\displaystyle\binom{6}{0}\cos^6 x+\binom{6}{1}(\cos^5 x)(i\operatorname{sen }x)$$ $$\displaystyle +\binom{6}{2}(\cos^4 x)(i\operatorname{sen }x)^2+\binom{6}{3}(\cos^3 x)(i\operatorname{sen }x)^3+\binom{6}{4}(\cos^2 x)(i\operatorname{sen }x)^4$$ $$\displaystyle +\binom{6}{5}(\cos x)(i\operatorname{sen }x)^5+\binom{6}{6}(i\operatorname{sen }x)^6=\cos^6 x+6i\cos^5 x \operatorname{sen }x$$ $$-15\cos^4 x \operatorname{sen }^2x-20i\cos^3 x \operatorname{sen }^3x+15 \cos^2 x \operatorname{sen }^4x+6i\cos x \operatorname{sen }^5x-\operatorname{sen }^6x.$$ Igualando partes real e imaginaria, $$\cos 6x=\cos^6 x-15\cos^4 x \operatorname{sen }^2x+15 \cos^2 x \operatorname{sen }^4x-\operatorname{sen }^6x,$$ $$\operatorname{sen }6x=6\cos x \operatorname{sen }^5x-20\cos^3 x \operatorname{sen }^3x+6\cos x \operatorname{sen }^5x.$$
  4. $a)$ Usando la conocida fórmula de las raíces enésimas de un número complejo, $$\sqrt [3]{1+i}=\sqrt [3]{1(\cos \pi/4+i\operatorname{sen}\pi/4)}$$ $$=\sqrt [3]{1}\left(\cos \left(\frac{\pi/3}{4}+\frac{2k\pi}{3}\right)+i\operatorname{sen} \left(\frac{\pi/4}{3}+\frac{2k\pi}{3}\right)\right),\; (k=0,1,2)$$ $$=\cos \left(\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}\right)+i\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}\right),\; (k=0,1,2).$$ Dando a $k$ los correspondientes valores, obtenemos las tres raíces $$k=0\Rightarrow w_0=\cos \frac{\pi}{12}+i\operatorname{sen} \frac{\pi}{12},$$ $$k=1\Rightarrow w_1=\cos \frac{9\pi}{12}+i\operatorname{sen} \frac{9\pi}{12},$$ $$k=2\Rightarrow w_2=\cos \frac{17\pi}{12}+i\operatorname{sen} \frac{17\pi}{12}.$$ $b)$ De manera análoga $$\sqrt [6]{1}\Leftrightarrow z=\sqrt [6]{1(\cos 0+i\operatorname{sen}0)}$$ $$=\sqrt [6]{1}\left(\cos \left(\frac{0}{6}+\frac{2k\pi}{6}\right)+i\operatorname{sen} \left(\frac{0}{6}+\frac{2k\pi}{6}\right)\right),\; (k=0,1,\ldots,5)$$ $$=\cos \frac{k\pi}{3}+i\operatorname{sen} \frac{k\pi}{3},\; (k=0,1,\ldots,5).$$ Dando a $k$ los correspondientes valores, $$k=0\Rightarrow w_0=\cos 0+i\operatorname{sen} 0=1,$$ $$k=1\Rightarrow w_1=\cos \frac{\pi}{3}+i\operatorname{sen} \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,$$ $$k=2\Rightarrow w_2=\cos \frac{2\pi}{3}+i\operatorname{sen} \frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,$$ $$k=3\Rightarrow w_2=\cos \pi+i\operatorname{sen} \pi=-1.$$ Como $\sqrt [6]{1}$ son las raíces del polinomio con coeficientes reales $z^6-1$ las otras dos raíces han de ser las conjugadas de $w_1$ y $w_2.$ En consecuencia, las raíces sextas de la unidad son $$\pm1,\quad \frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad -\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i.$$
  5. $a)$ Usando la conocida fórmula de las raíces enésimas de un número complejo, $$z^6+1=0\Leftrightarrow z^6=-1\Leftrightarrow z=\sqrt [6]{-1}\Leftrightarrow z=\sqrt [6]{1(\cos \pi+i\operatorname{sen}\pi)}$$ $$=\sqrt [6]{1}\left(\cos \left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{6}\right)+i\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{6}\right)\right),\; (k=0,1,\ldots,5)$$ $$=\cos \left(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\right)+i\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\right),\; (k=0,1,\ldots,5).$$ Dando a $k$ los correspondientes valores, $$k=0\Rightarrow w_0=\cos \frac{\pi}{6}+i\operatorname{sen} \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,$$ $$k=1\Rightarrow w_1=\cos \frac{\pi}{2}+i\operatorname{sen} \frac{\pi}{2}=i,$$ $$k=2\Rightarrow w_2=\cos \frac{5\pi}{6}+i\operatorname{sen} \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i.$$ Como $z^6+1$ es polinomio con coeficientes reales, las otras tres raíces han de ser las conjugadas de las anteriores, por tanto las soluciones de $z^6+1=0$ son $$\frac{\sqrt{3}}{2}\pm\frac{1}{2}i,\;\;\pm i,\;\;-\frac{\sqrt{3}}{2}\pm\frac{1}{2}i.$$ $b)$ Procediendo de manera análoga, $$z^4+4=0\Leftrightarrow z^4=-4\Leftrightarrow z=\sqrt [4]{-4}\Leftrightarrow z=\sqrt [4]{4(\cos \pi+i\operatorname{sen}\pi)}$$ $$=\sqrt [4]{4}\left(\cos \left(\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{4}\right)+i\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{4}\right)\right),\; (k=0,1,2,3)$$ $$=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\right)+i\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\right)\right),\; (k=0,1,2,3).$$ Dando a $k$ los correspondientes valores, $$k=0\Rightarrow w_0=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\operatorname{sen} \frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=1+i,$$ $$k=1\Rightarrow w_1=\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\operatorname{sen} \frac{3\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=-1+i.$$ Como habíamos comentado en el apartado anterior las otras dos raíces han de ser las conjugadas de las anteriores, por tanto las soluciones de $z^4+4=0$ son $$1\pm i,\;\;-1\pm i.$$
  6. Sea $z$ un número complejo y sea $w_0$ una raíz enésima de $z,$ es decir $w_0^n=z.$ Las raíces enésimas de la unidad son $$\cos \frac{2k\pi}{n}+i\operatorname{sen}\frac{2k\pi}{n},\quad k=0,1,2,\ldots n-1.$$ Llamando $\epsilon=\cos 2\pi/n+i\operatorname{sen}2\pi/n,$ las raíces enésimas de la unidad se pueden expresar como $$U_n=\{1,\epsilon,\epsilon^2,\ldots,\epsilon^{n-1}\}=\{\epsilon^k:k=0,1,2,\ldots,n-1\}.$$ Se verifica para todo $k=0,1,2,\ldots,n-1$ $$\left(w_0\epsilon^k\right)^n=w_0^n\epsilon ^{kn}= w_0^n\left(\epsilon^n\right)^k=z\cdot1^k=z,$$ es decir el conjunto $w_0U_n$ está formado por raíces enésimas de $z.$ Además, los argumentos de las raíces enésimas de la unidad son distintos dos a dos, por tanto $w_0U_n$ tiene exactamente $n$ elementos los cual prueba la proposición.
  7. Aplicamos la fórmula de De Moivre: $$\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\right)^n=\left(\sqrt{\frac{4}{3}}\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\operatorname{sen}\frac{\pi}{6}\right)\right)^n$$ $$=\left(\sqrt{\frac{4}{3}}\right)^n\left(\cos \frac{n\pi}{6}+i\operatorname{sen}\frac{n\pi}{6}\right).$$ Para que sea imaginario puro, se ha de verificar $\cos n\pi/6=0,$ y el mayor entero estrictamente negativo que lo cumple se obtiene evidentemente para $n\pi/6=-\pi/2,$ es decir para $n=-3.$
  8. Tenemos, $$1+w+w^2=1+\cos \frac{2\pi}{3}+i\operatorname{sen}\frac{2\pi}{3}+\cos \frac{4\pi}{3}+i\operatorname{sen}\frac{4\pi}{3}$$ $$=1-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=0\Rightarrow 1+w=-w^2.$$ En consecuencia, $$(1+w)^n=\left(-w^2\right)^n=\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^n$$ $$=\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\operatorname{sen}\frac{\pi}{3}\right)^n=\cos \frac{n\pi}{3}+i\operatorname{sen}\frac{n\pi}{3}.$$
  9. Tenemos $$1+\cos x+i\operatorname{sen}x=2\cos^2\frac{x}{2}+2i\operatorname{sen}\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$$ $$=2\cos\frac{x}{2}\left(\cos\frac{x}{2}+i\operatorname{sen}\frac{x}{2}\right)$$ $$\Rightarrow (1+\cos x+i\operatorname{sen}x)^n=2^n\cos^n\frac{x}{2}\left(\cos\frac{nx}{2}+i\operatorname{sen}\frac{nx}{2}\right).$$
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